Jumat, 25 Mei 2018

Pembahasan Matematika No. 6 - 10 TKD Saintek SBMPTN 2016 Kode Naskah 225

Pembahasan soal Matematika Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2016 kode naskah 225 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:
  • suku banyak, 
  • fungsi eksponen, 
  • limit fungsi, 
  • barisan dan deret, serta 
  • titik stasioner dan nilai ekstrem.

Soal No. 6 tentang Suku Banyak

Diketahui sisa pembagian suku banyak f(x) − g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x, sisa pembagian f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1, maka sisa pembagian (f(x))2 + (g(x))2 oleh x − 1 adalah ….
A.   5/2
B.   5/4
C.   1/4
D.   1
E.   4

Pembahasan

Mari kita pahami kembali teorema sisa berikut ini!
Jika f(x) dibagi oleh x a
maka sisanya adalah f(a)
Berdasarkan teorema sisa tersebut, sisa pembagian (f(x))2 + (g(x))2 oleh x − 1 adalah:
(f(1))2 + (g(1))2
Itulah yang ditanyakan. Berarti kita tinggal mencari nilai dari f(1) dan g(1).
Mari kita perhatikan pernyataan pada soal di atas!
Sisa pembagian suku banyak f(x)− g(x) oleh x2 + x − 2 adalah x.
Pembagi suku banyak tersebut berbentuk kuadrat yang dapat difaktorkan menjadi:
x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1)
Artinya, jika f(x)− g(x) dibagi x2 + x − 2 bersisa x, maka dibagi (x + 2) atau (x − 1) pun juga akan bersisa x.
Karena kita butuh nilai f(1) dan g(1) maka kita gunakan pembagi (x − 1). Sehingga sisa pembagian ini adalah:
f(1)− g(1) = 1    … (1)
Sekarang kita perhatikan pernyataan berikutnya.
Sisa pembagian f(x) + g(x) oleh x2 − 3x + 2 adalah x + 1.
Faktor pembaginya adalah:
x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)
Kita gunakan faktor pembagi (x − 1) sehingga sisa pembagian ini adalah:
f(1) + g(1) = 1 + 1
f(1) + g(1) = 2    … (2)
Nah, sekarang kita eliminasi persamaan (1) dan (2).
f(1)− g(1) = 1
f(1) + g(1) = 2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  +
         2f(1) = 3
           f(1) = 3/2
Substitusi f(1) = 3/2 ke persamaan (2).
f(1) + g(1) = 2
 3/2 + g(1) = 2
           g(1) = 1/2
Dengan demikian,
(f(1))2 + (g(1))2 = (3/2)2 + (1/2)2
                          = 9/4 + 1/4
                          = 10/4
                          = 5/2
Jadi, sisa pembagian (f(x))2 + (g(x))2 oleh x − 1 adalah 5/2 (A).

Soal No. 7 tentang Fungsi Eksponen

Grafik y = 3x+1 − (1/9)x berada di bawah grafik y = 3x + 1 jika ….
A.   0 < x < 1
B.   x > 1
C.   x < 0
D.   x > 3
E.   1 < x < 3

Pembahasan

Misalkan:
y1 = 3x+1 − (1/9)x
    = 3 . 3x − 3−2x
y2 = 3x + 1
Karena y1 berada di bawah y2 maka nilai y1 kurang dari y2.
                y1 < y2
3 . 3x − 3−2x < 3x + 1
Agar lebih enak dipandang, kita misalkan p = 3x. diperoleh:
3pp−2 < p + 1
2pp−2 − 1 < 0
Selanjutnya, masing-masing suku kita kalikan dengan p2, tujuannya supaya tidak mengandung pangkat negatif.
2p3 − 1 − p2 < 0
2p3p2 − 1 < 0
Bentuk terakhir ini adalah suku banyak berderajat tiga. Penyelesaiannya bisa dengan cara Horner seperti soal no. 3 di atas.
Bisa juga dengan memperhatikan koefisiennya. Karena jumlah semua koefisiennya sama dengan nol maka dapat dipastikan salah satu faktornya adalah (p − 1). Sehingga bentuk di atas bisa diubah menjadi:
(p − 1)(2p2 + p + 1) < 0
Faktor kedua, yaitu 2p2 + p + 1, ternyata tidak dapat difaktorkan lagi. Berarti definit positif sehingga dapat diabaikan.
p − 1 < 0
       p < 1
Sekarang kita kembalikan nilai p = 3x.
3x < 1
3x < 30
  x < 0
Jadi, y1 berada di bawah y1 jika x < 0 (C).

Soal No. 8 tentang Limit Fungsi

Limit fungsi trigonometri mendekati nol

A.   −∞
B.   −7/2
C.   −5/2
D.   −3/2
E.   −1/2

Pembahasan

Limit fungsi trigonometri mendekati nol berlaku hubungan:
x = sin ⁡x = tan⁡ x
Dengan memanfaatkan hubungan tersebut, mari kita ganti sin⁡ x pada soal di atas dengan x.
Limit fungsi trigonometri mendekati nol, x = sin x

Masing-masing suku dibagi x3/2, diperoleh:
Penyelesaian limit fungsi trigonometri mendekati nol

Nah, sekarang tinggal memasukkan x = 0.
= 0 − 1/2
= −1/2
Jadi, nilai dari limit fungsi tersebut adalah −1/2 (E).

Soal No. 9 tentang Barisan dan Deret

Misalkan (an) adalah barisan geometri yang memenuhi sistem a2 + a5a4 = 10, a3 + a6a5 = 20. Nilai dari a2 adalah ….A.   −2
B.   −1
C.   0
D.   1
E.   2

Pembahasan

an yang dimaksud pada soal adalah suku ke-n barisan geometri yang dirumuskan:
an = arn−1
Berpedoman pada rumus tersebut maka:
a2 + a5a4 = 10
ar + ar4ar3 = 10 … (1)
a3 + a6a5 = 20
ar2 + ar5ar4 = 20 … (2)
Mari kita bandingkan persamaan (1) dan (2)!
Perbandingan dari penjumlahan suku-suku deret geometri

Substitusi r = 2 ke persamaan (1).
ar + ar4ar3 = 10
2a + 16a − 8a = 10
                 10a = 10
                     a = 1
Dengan demikian,
a2 = ar
     = 1×2
     = 2
Jadi, nilai dari a2 adalah 2 (E).

Soal No. 10 tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem

Jika f(x) = x3 − 3x2 + a memotong sumbu y di titik (0, 10) maka nilai minimum f(x) untuk x ∈ [0, 1] adalah ….A.   10
B.   8
C.   6
D.   4
E.   3


Pembahasan

f(x) memotong sumbu y di titik (0, 10) artinya f(0) = 10.
f(x) = x3 − 3x2 + a
f(0) = 03 − 3.02 + a
  10 = a
Sehingga fungsi lengkap dari f(x) adalah:
f(x) = x3 − 3x2 + 10
Fungsi f(x) akan mencapai nilai minimum apabila turunan fungsi tersebut sama dengan nol.
       f'(x) = 0
3x2 − 6x = 0
  x2 − 2x = 0
 x(x − 2) = 0
x = 0 atau x = 2
Karena x ∈ [0, 1] maka x = 2 tidak memenuhi.
Selanjutnya kita cari nilai dari f(0) dan f(1) untuk menentukan nilai minimumnya.
f(x) = x3 − 3x2 + 10
f(0) = 0 − 0 + 10
       = 10 (maksimum)
f(1) = 1 − 3 + 10
       = 8 (minimum)
Jadi, nilai minimum f(x) untuk x ∈ [0, 1] adalah 8 (B).

loading...

Artikel Terkait