Pembahasan Matematika No. 11 - 15 TKD Saintek SBMPTN 2016 Kode Naskah 225
Jumat, 25 Mei 2018
Tambah Komentar
Pembahasan soal Matematika Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD
Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun
2016 kode naskah 225 nomor 11 sampai dengan nomor 15 tentang:
- integral tentu,
- aplikasi integral: luas daerah,
- probabilitas,
- aplikasi turunan: garis singgung kurva, dan
- fungsi kuadrat.
Soal No. 11 tentang Integral Tentu
Diketahui fungsi f(x) = f(x + 2) untuk setiap x. Jika 0∫2 f(x) dx = B maka 3∫7 f(x + 8) dx = ….
A. B
B. 2B
C. 3B
D. 4B
E. 5B
B. 2B
C. 3B
D. 4B
E. 5B
Pembahasan
Perhatikan pola fungsi pada soal di atas!
f(x) = f(x + 2)
f(x + 2) = f(x + 2 + 2) = f(x + 4)
f(x + 4) = f(x + 4 + 2) = f(x + 6)
f(x + 6) = f(x + 6 + 2) = f(x + 8)
f(x + 2) = f(x + 2 + 2) = f(x + 4)
f(x + 4) = f(x + 4 + 2) = f(x + 6)
f(x + 6) = f(x + 6 + 2) = f(x + 8)
Sehingga diperoleh:
f(x) = f(x + 2) = f(x + 4) = f(x + 6) = f(x + 8)
Lebih jelasnya,
f(x) = f(x + 8)
Sementara itu, disebutkan dalam soal:
0∫2 f(x) dx = B
Sekarang kita masuk ke pertanyaan.
3∫7 f(x + 8) dx = 3∫7 f(x) dx
Selanjutnya kita ubah batas integrasinya agar sesuai dengan data yang diketahui pada soal.
Jadi, nilai integral tentu tersebut adalah 2B (B).
Soal No. 12 tentang Aplikasi Integral: Luas Daerah
Diketahui fungsi f(x) = xk dan g(x) = x. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva g, sumbu x dan x = 1. Kurva f membagi daerah D menjadi daerah D1 dan D2 dengan perbandingan luas 1 : 2. Jika D1 adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g maka k = ….A. 1/3
B. 2/3
C. 1
D. 2
E. 3
B. 2/3
C. 1
D. 2
E. 3
Pembahasan
Berikut ini adalah ilustrasi gambar untuk soal di atas!
D1 adalah daerah yang dibatasi oleh garis g dan kurva f. Sedangkan D2 adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f, sumbu x, dan garis x = 1.
Diketahui perbandingan luas D1 dan D2 adalah 1 : 2.
Masukan batas integrasi x = 1 saja. Batas x = 0 tidak perlu dimasukkan karena akan menghasilkan nol. Diperoleh:
Jadi, nilai k adalah 2 (D).
Soal No. 13 tentang Probabilitas
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan 3 digit sehingga 3 < b < c adalah ….A. 48
B. 54
C. 60
D. 64
E. 72
B. 54
C. 60
D. 64
E. 72
Pembahasan
Suatu bilangan dikatakan genap apabila posisi satuan bilangan tersebut adalah angka genap.
Pada soal di atas, posisi satuan adalah c. Sedangkan c harus lebih besar dari b dan b harus lebih besar dari 3. Sehingga nilai c yang mungkin hanya 6 dan 8.
Untuk c = 6, nilai b yang mungkin adalah 4 dan 5 (ada 2 kemungkinan).
Sedangkan untuk c = 8, nilai b yang mungkin adalah 4, 5, 6, dan 7 (ada 4 kemungkinan).
Sehingga banyak susunan a dan b yang mungkin ada 6 kemungkinan.
Sementara itu, posisi a bisa diisi semua angka kecuali 0 (nol) karena nol di depan akan menghasilkan bilangan 2 digit. Nilai a yang mungkin adalah:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ada 9 kemungkinan)
Dengan demikian, banyak bilangan genap yang dapat disusun adalah:
9 × 6 = 54
Jadi, banyak bilangan genap n adalah 54 (B).
Soal No. 14 tentang Aplikasi Turunan: Garis Singgung Kurva
Garis singgung kurva y = 3 − x2 di titik P(−a, b) dan Q(a, b) memotong sumbu y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ….A. 2√3
B. √3
C. 1/2 √3
D. 1/3 √3
E. 1/4 √3
B. √3
C. 1/2 √3
D. 1/3 √3
E. 1/4 √3
Pembahasan
Soal di atas dapat diilustrasikan dengan gambar berikut ini!
Agar segitiga PQR sama sisi maka tiap sudutnya harus 60°. Sehingga kemiringan atau gradien garis singgung kurva (garis biru) di titik P adalah:
m = tan 60°
=√3
=√3
Garis singgung tersebut juga merupakan turunan pertama dari kurva y = 3 − x2.
m = y'
= −2x
= −2x
Nah, sekarang kita tinggal memasukkan m = √3 dan x = −a (x di titik P).
m = −2x
√3 = −2(−a)
2a = √3
a = 1/2 √3
√3 = −2(−a)
2a = √3
a = 1/2 √3
Jadi, nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah 1/2 √3 (C).
Soal No. 15 tentang Fungsi Kuadrat
Garis l adalah garis singgung sekutu parabola y = x2 − 4x + 7 dan y = p − 3(x + 2)2. Jika garis l menyinggung parabola y = x2 − 4x + 7 di x = 5 maka p = ….
A. −35
B. −33
C. −26
D. −21
E. −10
B. −33
C. −26
D. −21
E. −10
Pembahasan
Garis l menyinggung parabola y = x2 − 4x + 7 di x = 5. Titik singgungnya dapat dicari dengan memasukkan x = 5 ke persamaan parabola.
y = 52 − 4 . 5 + 7
= 12
= 12
Sehingga titik singgung antara garis l dan parabola tersebut adalah:
(x1, y1) = (5, 12)
Sedangkan gradien garis singgungnya merupakan turunan pertama dari fungsi parabola.
m = y'
= 2x − 4
= 2x − 4
Dengan memasukkan x = 5 diperoleh:
m = 2∙5 − 4
= 6
= 6
Dengan demikian, persamaan garis l dapat dicari dengan rumus:
y − y1 = m(x − x1)
y − 12 = 6(x − 5)
= 6x − 30
y = 6x − 18
y − 12 = 6(x − 5)
= 6x − 30
y = 6x − 18
Garis l juga menyinggung parabola y = p − 3(x + 2)2 sehingga garis l disebut garis singgung sekutu.
Jika garis menyinggung parabola maka di titik singgungnya garis dan
parabola tersebut bernilai sama dan diskriminannya sama dengan nol.
I. ygaris = yparabola
6x − 18 = p − 3(x + 2)2
= p − 3(x2 + 4x + 4)
= −3x2 − 12x − 12 + p
3x2 + 18x − 6 − p = 0
6x − 18 = p − 3(x + 2)2
= p − 3(x2 + 4x + 4)
= −3x2 − 12x − 12 + p
3x2 + 18x − 6 − p = 0
II. D = 0
b2 − 4ac = 0
182 − 4∙3 (−6 − p) = 0
324 + 72 + 12p = 0
12p = −396
p = −33
b2 − 4ac = 0
182 − 4∙3 (−6 − p) = 0
324 + 72 + 12p = 0
12p = −396
p = −33
Jadi, nilai p adalah −33 (B).
Belum ada Komentar untuk "Pembahasan Matematika No. 11 - 15 TKD Saintek SBMPTN 2016 Kode Naskah 225"
Posting Komentar