Kumpulan RPP Kurikulum 2013 SD, MI, SMP , MTS, SMA, MA, SMK Terlengkap

Jumat, 25 Mei 2018

Pembahasan Matematika IPA UN: Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma.

Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2014

Himpunan penyelesaian dari 22x − 7 ∙ 2x > 8 adalah ….
A.   {xx < −1, x ∈ R}
B.   {xx < −2, x ∈ R}
C.   {xx > 3, x ∈ R}
D.   {xx > 4, x ∈ R}
E.   {xx > 8, x ∈ R}

Pembahasan

Misalkan p = 2x sehingga 22x = p2.
   22x − 7 ∙ 2x > 8
   p2 − 7p − 8 > 0
(p + 1)(p − 8) > 0
Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −1 atau di sebelah kanan 8.
 p < −1    atau    p > 8
2x < −1    atau   2x > 8
Penyelesaian 2x < −1 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sehingga kita tinggal menyelesaikan 2x > 8.
2x > 8
2x > 23
  x > 3
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan eksponen tersebut adalah opsi (C).

Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2012

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x+1 + 9 − 28 ∙ 3x > 0, x ∈ R adalah ….
A.   x > −1 atau x > 2
B.   x < −1 atau x < 2
C.   x < 1 atau x > 2
D.   x < −1 atau x > 2
E.   x > −1 atau x < −2

Pembahasan

Langkah pertama, kita pecah bilangan berpangkat 32x+1 menjadi 32x ∙ 31.
   32x+1 + 9 − 28 ∙ 3x > 0
32x ∙ 31 + 9 − 28 ∙ 3x > 0
Misalkan p = 3x kemudian kita urutkan sehingga menjadi:
 3p2 − 28p + 9 > 0
(3p − 1)(p − 9) > 0
Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri 1/3 atau di sebelah kanan 9.
 p < 1/3    atau    p > 9
3x < 3−1   atau   3x > 32
  x < −1    atau     x > 2
Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (D).

Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2017

Himpunan penyelesaian dari 9x − 54 > 3x+1 adalah ….
A.   {xx > 9, x ∈ R}
B.   {xx < −3, x ∈ R}
C.   {xx > 4, x ∈ R}
D.   {xx < −6, x ∈ R}
E.   {xx > 2, x ∈ R}

Pembahasan

Langkah pertama kita pindah ruas sehingga ruas kanan menjadi nol
9x − 3x+1 − 54 > 0
Selanjutnya pangkat dari 3 kita pecah dengan rumus am+n = aman.
9x − 3x . 31 − 54 > 0
Misalkan p = 3x sehingga 9x = p2.
 p2 − 3p − 54 > 0
(p + 6)(p − 9) > 0
Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −6 atau di sebelah kanan 9.
 p < −6   atau    p > 9
3x < −6   atau   3x > 9
Penyelesaian 3x < −6 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sekarang kita lanjutkan untuk 3x > 9.
3x > 9
3x > 32
  x > 2
Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (E).

Soal Pertidaksamaan Logaritma UN 2013

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
2log(x + 2) + 2log(x − 2) ≤ 2log 5 adalah ….A.   {xx ≥ −2}
B.   {xx ≥ 2}
C.   {xx ≥ 3}
D.   {x│2< x ≤ 3}
E.   {x│−2 < x ≤ 2}

Pembahasan

Langkah pertama dalam menyelesaikan soal pertidaksamaan logaritma adalah menentukan syaratnya. Bilangan atau fungsi yang di-log harus bernilai positif.
x + 2 > 0
      x > −2 … (1)
x − 2 > 0
      x > 2   … (2)
Berdasarkan syarat di atas, opsi A, B, dan E sudah pasti salah.
Mari kita selesaikan soal di atas. Pertama, kugunakan rumus penjumlahan logaritma log⁡ a + log b = log ⁡ab.
2log(x + 2) + 2log(x − 2) ≤ 2log 5
              2log(x + 2)(x − 2) ≤ 2log 5
Karena bilangan pokok logaritma ruas kiri dan kanan sama, kita dapatkan pertidaksamaan:
(x + 2)(x − 2) ≤ 5
            x2 − 4 ≤ 5
            x2 − 9 ≤ 0
(x + 3)(x − 3) ≤ 0
Karena tanda pertidaksamaannya ‘≤’ maka penyelesaiannya berada di antara −3 dan 3.
−3 ≤ x ≤ 3 … (3)
Dari ketiga pertidaksamaan yang kita peroleh, kita buat garis bilangan.
Garis bilangan pertidaksamaan logaritma UN 2013

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma tersebut adalah {x│2< x ≤ 3} (D).

Soal Pertidaksamaan Logaritma UN 2014

Penyelesaian pertidaksamaan
3log⁡ x1−2xlog ⁡9 > 2 − 1−2xlog⁡ 9 adalah ….A.   0 < x < 1/5
B.   0 < x < 1/2
C.   0 < x < 2/5
D.   1/5 < x < 1/2
E.   2/5 < x < 1/2

Pembahasan

Sebelum menyelesaikan soal pertidaksamaan logaritma, sebaiknya menentukan syaratnya terlebih dahulu.
Bilangan atau fungsi yang di-log harus positif.
x > 0          … (1)
Bilangan pokok logaritma harus positif tetapi tidak sama dengan 1.
1 − 2x > 0
    −2x > −1
      2x < 1
        x < 1/2 … (2)
1 − 2x ≠ 1
    −2x ≠ 0
        x ≠ 0    … (3)
Sekarang kita selesaikan soalnya. Yang mengandung logaritma kita pindah ke ruas kiri.
3log⁡ x1−2xlog ⁡9 > 2 − 1−2xlog⁡ 9
3log⁡ x1−2xlog ⁡9 + 1−2xlog⁡ 9 > 2
Karena kedua suku di ruas kiri mengandung 1−2xlog ⁡9, kita jadikan satu suku.
1−2xlog ⁡9 (3log⁡ x + 1) > 2
Selanjutnya kita ubah 9 menjadi 32 kemudian kita gunakan rumus log an = n log ⁡a. Pada saat yang sama kita ubah angka 1 menjadi 3log 3 kemudian kita gunakan rumus penjumlahan logaritma.
1−2xlog 32 (3log⁡ x + 3log 3) > 2
         2 ∙ 1−2xlog 3 (3log⁡ 3x) > 2
                  1−2xlog 3 . 3log⁡ 3x > 1
Kita manfaatkan rumus alog⁡ bblog⁡ c = alog⁡ c sehingga menjadi:
1−2xlog 3x > 1
Angka 1 kita ubah menjadi 1−2xlog (1 − 2x).
1−2xlog 3x1−2xlog (1 − 2x)
Nah, karena bilangan pokok ruas kiri dan kanan sudah sama, maka diperoleh pertidaksamaan:
3x > 1 − 2x
5x > 1
  x > 1/5      … (4)
Dari keempat pertidaksamaan yang kita peroleh, kita buat garis bilangan.
Garis bilangan pertidaksamaan logaritma UN 2014

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan logaritma tersebut adalah 1/5 < x < 1/2 (D).

loading...
Previous
Next Post »

Posting Komentar