Jumat, 25 Mei 2018

Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 6 - 10

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2017 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:
  • invers fungsi, 
  • komposisi fungsi, 
  • sifat akar persamaan kuadrat, 
  • jenis akar persamaan kuadrat, dan 
  • persamaan kuadrat baru.

Soal No. 6 tentang Invers Fungsi

Jika fungsi
Fungsi f(x) dan g(x) UN 2017, invers komposisi fungsi

maka (gf)−1(x) = ….

Pembahasan

Kita tentukan dulu komposisi (gf)(x). Pada komposisi tersebut fungsi g ada di depan, berarti kita harus berpatokan pada g(x).
Komposisi fungsi g o f

Selanjutnya kita cari invers dari (gf)(x) dengan memanfaatkan rumus:
Rumus invers fungsi berbentuk pecahan linear

Dengan demikian,
Invers fungsi g o f

Jadi, invers dari fungsi komposisi tersebut adalah opsi (C).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Komposisi dan Invers Fungsi.

Soal No. 7 tentang Komposisi Fungsi

Diketahui fungsi fRR dan gRR. Jika g(x) = 2x − 4 dan (gf) = 4x2 − 24x + 32, fungsi f(−2) adalah ….
A.   12
B.   24
C.   32
D.   50
E.   95

Pembahasan

Berpedoman pada g(x) = 2x − 4 maka bisa diartikan (gf) = 2f(x) − 4.
    (gf) = 4x2 − 24x + 32
2f(x) − 4 = 4x2 − 24x + 32
      2f(x) = 4x2 − 24x + 36
        f(x) = 2x2 − 12x + 18
Nah, kita tinggal memasukkan x = −2 pada fungsi f(x) tersebut.
f(−2) = 2(−2)2 − 12(−2) + 18
         = 8 + 24 + 18
         = 50
Jadi, nila dari f(−2) adalah 50 (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Komposisi dan Invers Fungsi.

Soal No. 8 tentang Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan x2 − 2x − (p + 5) = 0 adalah x1 dan x2, dengan x12 + x22 = 28. Nilai p yang memenuhi adalah ….A.   −16
B.   −14
C.   −7
D.   7
E.   14

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat x2 − 2x − (p + 5) = 0 diperoleh:
a = 1
b = −2
c = −(p + 5)
   = −p − 5
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
x1 + x2 = −b/a
            = 2
x1x2 = c/a
           = −p − 5
Sementara itu diketahui pada soal:
x12 + x22 = 28
Jumlah kuadrat akar tersebut bisa dijabarkan menjadi:
(x1 + x2)2 − 2 x1x2 = 28
Nah, sekarang kita tinggal memasukkan sifat penjumlahan dan perkalian akar di atas.
22 − 2(–p − 5) = 28
    4 + 2p + 10 = 28
                   2p = 14
                     p = 7
Jadi, nilai p yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah 7 (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan dan Fungsi Kuadrat.

Soal No. 9 tentang Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Jika persamaan kuadrat x2 + (p +1 )x +( 2 − p) = 0 memiliki akar-akar yang tidak real, nilai p yang memenuhi persamaan tersebut adalah ….
A.   −1 < p < 7
B.   −7 < p < 1
C.   −7 ≤ p ≤ 1
D.   p ≤ −7 atau p ≥ 7
E.   p < −7 atau p > 7

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat x2 + (p +1 )x +( 2 − p) = 0 diperoleh:
a = 1
b = p + 1
c = 2 − p
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya tidak real mempunyai diskriminan negatif.
                               D < 0
                    b2 − 4ac < 0
(p + 1)2 − 4∙1∙(2 − p) < 0
 p2 + 2p + 1 − 8 + 4p < 0
                p2 + 6p − 7 < 0
            (p + 7)(p − 1) < 0
Karena tanda pertidaksamaannya ‘<’ maka penyelesaiannya berada di antara −7 dan 1.
−7 < p < 1
Jadi, nilai p yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah opsi (B).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan dan Fungsi Kuadrat.

Soal No. 10 tentang Persamaan Kuadrat Baru

Akar-akar persamaan kuadrat 3x2x − 5 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x1 − 1) dan (3x1 − 1) adalah ….
A.   x2 + x − 17 = 0
B.   x2 + x + 13 = 0
C.   x2 + x − 15 = 0
D.   x2x − 15 = 0
E.   x2x + 15 = 0

Pembahasan

Penjumlahan dan perkalian akar persamaan kuadrat 3x2x − 5 = 0 yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah:
x1 + x2 = −b/a
            = 1/3
x1x2 = c/a
           = −5/3
Misalkan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x1 − 1) dan (3x1 − 1) adalah:
x2px + q = 0
dengan p adalah hasil jumlah akar-akar baru sedangkan q adalah hasil kali akar-akar baru.
p = (3x1 − 1) + (3x1 − 1)
   = 3(x1 + x2) − 2
   = 3 ∙ 1/3 − 2
   = −1
q = (3x1 − 1) (3x1 − 1)
   = 9x1x2 − 3x1 − 3x2 + 1
   = 9x1x2 − 3(x1 + x2) + 1
   = 9 ∙ (−5/3) − 3 ∙1 /3 + 1
   = −15 − 1 + 1
   = −15
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah:
x2px + q = 0
x2 + x − 15 = 0
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x1 − 1) dan (3x1 − 1) adalah x2 + x − 15 = 0 (C).

Artikel Terkait