Jumat, 25 Mei 2018

Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 31 - 35

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2017 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 31 sampai dengan nomor 35 tentang:
  • jarak titik ke garis pada dimensi tiga, 
  • sudut antara garis dan bidang pada dimensi tiga, 
  • transformasi geometri, 
  • persamaan lingkaran, serta 
  • garis singgung lingkaran.

Soal No. 31 tentang Jarak Titik ke Garis pada Dimensi Tiga

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk tegak 6√2 cm dan panjang rusuk alas 6 cm. Jarak titik A ke TC adalah ….
A.   2√2 cm
B.   2√3 cm
C.   3√2 cm
D.   3√3 cm
E.   3√6 cm

Pembahasan

Perhatikan gambar limas beraturan T.ABCD berikut ini!
Jarak titik A ke garis TC pada limas T.ABCD, soal dimensi tiga UN 2017

Pada gambar di atas, panjang AT = CT = 6√2 cm. Sedangkan AC merupakan diagonal alas persegi yang bersisi 6 cm sehingga panjang AC = 6√2 cm. Dengan demikian, segitiga ACT adalah segitiga sama sisi.
AP adalah jarak antara titik A ke garis CT. AP sama dengan tinggi segitiga sama sisi ACT.
AP = tinggi ΔACT
      = 1/2 a√3          [a: rusuk segitiga]
      = 1/2 ∙ 6√2 ∙ √3
      = 3√6
Jadi, Jarak titik A ke TC pada limas T.ABCD adalah 3√6 cm (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Jarak Titik, Garis, dan Bidang [Dimensi Tiga]

Soal No. 32 tentang Sudut antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga

Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. panjang rusuk tegak = panjang rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah ….A.   15°
B.   30°
C.   45°
D.   60°
E.   90°

Pembahasan

Perhatikan gambar limas T.ABCD di bawah ini!
Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD pada limas T.ABCD, soal dimensi tiga UN 2017

Berdasarkan gambar di atas, sudut α dapat dicari dari perbandingan antara AP dengan AT (kosinus), di mana AP adalah setengah AC.
Menentukan sudut antara garis AT dan bidang ABCD melalui kosinus

Jadi, Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD pada limas T.ABCD adalah 45° (C).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Garis dan Bidang [Dimensi Tiga]

Soal No. 33 tentang Transformasi Geometri

Persamaan peta garis 2x + 3y + 1 = 0 karena dilatasi [0, 3] dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = x adalah ….A.   3x + 2y + 3 = 0
B.   3x − 2y − 3 = 0
C.   2x + 3y − 3 = 0
D.   2x − 3y + 3 = 0
E.   2x + 2y + 3 = 0

Pembahasan

Misalkan:
T1 adalah dilatasi [0,3] dan T2 adalah pencerminan terhadap y=x

T adalah matriks komposisi T1 dilanjutkan T2.
T adalah matriks komposisi T1 dilanjutkan T2, T2 bundaran T1

Persamaan matriks transformasi yang berlaku adalah:
Persamaan matriks transformasi

Diperoleh:
x' = 3yy = 1/3 x'
y' = 3xx = 1/3 y'
Sekarang kita substitusikan ke persamaan garis di atas.
                   2x + 3y + 1 = 0
2(1/3 y') + 3(1/3 x') + 1 = 0
                2/3 y' + x' + 1 = 0
                  2y' + 3x' + 3 = 0
                  3x' + 2y' + 3 = 0
Jadi, persamaan peta garis tersebut adalah opsi 3x + 2y + 3 = 0 (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Transformasi Geometri.

Soal No. 34 tentang Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran dengan pusat di titik (2, −3) dan menyinggung garis x = 5 adalah ….
A.   x2 + y2 + 4x − 6y + 9 = 0
B.   x2 + y2 − 4x + 6y + 9 = 0
C.   x2 + y2 − 4x + 6y + 4 = 0
D.   x2 + y2 − 4x − 6y + 9 = 0
E.   x2 + y2 + 4x − 6y + 4 = 0

Pembahasan

Gambar lingkaran yang dimaksud adalah sebagai berikut:
Gambar lingkaran dengan pusat di titik (2, −3) dan menyinggung garis x = 5, UN 2017

Karena garis x = 5 adalah garis lurus (tidak miring) maka jari-jari lingkaran tersebut merupakan selisih absis antara titik pusat dan garis.
r = 5 − 2
   = 3
Persamaan lingkaran dengan titik pusat (h, k) dan jari-jari r dirumuskan:
           (xh)2 + (yk)2 = r2
           (x − 2)2 + (y + 3)2 = 32
x2 − 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 9
      x2 + y2 − 4x + 6y + 4 = 0
Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah opsi (C).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.

Soal No. 35 tentang Garis singgung Lingkaran

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x − 6y + 5 = 0 yang sejajar garis 2xy + 7 = 0 adalah ….
A.   2xy + 10 = 0
B.   2xy + 5 = 0
C.   2xy + 3 = 0
D.   2x + y + 1 = 0
E.   2x + y − 5 = 0

Pembahasan

Untuk menentukan garis singgung lingkaran, kita perlu data pusat lingkaran, jari-jari, dan gradien. Pusat dan jari-jari lingkaran dapat diperoleh dari persamaan lingkaran dengan membandingkan bentuk umumnya sebagai:
x2 + y2 + 2x − 6y + 5 = 0
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0   [bentuk umum]
Dengan membanding persamaan lingkaran dan bentuk umumnya, diperoleh:
2A = 2
  A = 1
2B = −6
  B = −3
C = 5
Pusat dan jari-jari lingkaran tersebut adalah:
Pusat : (−A, −B)
            (−1, 3) → (h, k)
Jari-jari : r = √(A2 + B2 − C)
                  = √(12 + (−3)2 − 5)
                  = √5
Sedangkan gradien dapat diperoleh dari garis. Gradien garis ax + by + c = 0 dirumuskan:
m = −a/b
Sehingga gradien garis 2xy + 7 = 0 adalah:
m = −2/(−1)
    = 2
Karena garis singgung lingkaran sejajar dengan garis, maka gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis tersebut.
Nah, sekarang kita tentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut.
yk = m(xh) ± r √(m2 + 1)
y − 3 = 2(x + 1) ± √5 ∙ √(22 + 1)
         = 2x + 2 ± 5
      y = 2x + 5 ± 5
Persamaan garis singgung tersebut dapat dijabarkan menjadi:
y = 2x + 5 + 5
y = 2x + 10
2xy + 10 = 0
atau
y = 2x + 5 − 5
y = 2x
2xy = 0
Jadi, sesuai opsi jawaban yang tersedia, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah (A).

Artikel Terkait