Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 26 - 30
Jumat, 25 Mei 2018
Tambah Komentar
Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2017 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 26 sampai dengan nomor 30 tentang:
- persamaan trigonometri,
- perbandingan trigonometri (jumlah dan selisih dua sudut),
- perbandingan trigonometri (jumlah dan selisih sinus dan kosinus,
- sudut antara garis dan bidang dalam dimensi tiga, serta
- jarak antara titik, garis, dan bidang dalam dimensi tiga.
Soal No. 26 tentang Persamaan Trigonometri
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x − sin x = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2Ï€ adalah ….
A. {π/6, 5π/6, π}
B. {Ï€/6, 5Ï€/6, 3Ï€/2}
C. {Ï€/3, 2Ï€/3, 3Ï€/2}
D. {Ï€/3, 4Ï€/3, 3Ï€/2}
E. {7Ï€/6, 3Ï€/2, 11Ï€/6}
B. {Ï€/6, 5Ï€/6, 3Ï€/2}
C. {Ï€/3, 2Ï€/3, 3Ï€/2}
D. {Ï€/3, 4Ï€/3, 3Ï€/2}
E. {7Ï€/6, 3Ï€/2, 11Ï€/6}
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal d atas, trigonometrinya harus dijadikan sejenis. Dalam hal ini, cos 2x harus diubah menjadi bentuk sinus.
cos 2x = 1 − 2 sin2 x
Sehingga soal di atas menjadi:
cos 2x − sin x = 0
1 − 2 sin2 x − sin x = 0
2 sin2 x + sin x − 1 = 0
(2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0
sin x = 1/2 atau sin x = −1
1 − 2 sin2 x − sin x = 0
2 sin2 x + sin x − 1 = 0
(2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0
sin x = 1/2 atau sin x = −1
Untuk sin x = 1/2 (positif), nilai x berada pada kuadran I dan II.
sin x = 1/2
sin x = sin 30°
sin x = sin 30°
Kuadran I x = 30°
= π/6
= π/6
Kuadran II x = 180° − 30°
= 150°
= 5Ï€/6
= 150°
= 5Ï€/6
Sedangkan untuk sin x = −1 hanya mempunyai satu nilai pada interval 0 ≤ x ≤ 2Ï€.
sin x = −1
x = 270°
= 3Ï€/2
x = 270°
= 3Ï€/2
Dengan demikian, penyelesaiannya adalah:
Ï€/6, 5Ï€/6, 3Ï€/2
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah opsi (B).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan Trigonometri.
Soal No. 27 tentang Perbandingan Trigonometri (jumlah dan selisih dua sudut)
Diketahui sin α cos β = 2/5 dan (α + β) = 5Ï€/6. Nilai sin(α − β) = ….A. −1/2
B. −3/10
C. −1/10
D. 3/10
E. 1/2
B. −3/10
C. −1/10
D. 3/10
E. 1/2
Pembahasan
Langkah pertama, kita ubah sudut radian ke dalam derajat, supaya lebih familiar di otak kita.
(α + β) = 5π/6
= 150°
= 150°
Selanjutnya kita gunakan rumus jumlah dua sudut.
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin 150° = 2/5 + cos α sin β
1/2 = 2/5 + cos α sin β
cos α sin β = 1/2 − 2/5
= 1/10
sin 150° = 2/5 + cos α sin β
1/2 = 2/5 + cos α sin β
cos α sin β = 1/2 − 2/5
= 1/10
Sekarang kita masuk ke pertanyaan.
sin(α − β) = sin α cos β − cos β sin α
= 2/5 − 1/10
= 4/10 − 1/10
= 3/10
= 2/5 − 1/10
= 4/10 − 1/10
= 3/10
Jadi, nilai sin(α − β) adalah 3/10 (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri.
Soal No. 28 tentang Perbandingan Trigonometri (jumlah dan selisih sinus dan kosinus)
Nilai dari
A. −√3
B. −√2
C. −1/2 √3
D. √2
E. √3
![Selisih sinus dan kosinus, soal UN 2017 (sin 280° - sin 140°)/(cos 280° - cos 140° ) = ⋯.Selisih sinus dan kosinus, soal UN 2017](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjA0iK1x5sRAZzfwWQDhVaabLKxOp4etya9V-RgHkljCVqocDjhmR-eKTLQRzZ3Gyf9EcSwYmregvk6rDjR8jF9Dtc4mcfvuRcOZwbga5DP5Pif12akh-IBF7oPhf_H6_7DP3wyKIgVKoE/s1600/selisih-sin-cos.jpg)
A. −√3
B. −√2
C. −1/2 √3
D. √2
E. √3
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal di atas, sebaiknya dihafal rumus selisih sinus dan kosinus berikut ini.
sin A − sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A − B)
cos A − cos B = −2 sin ½ (A + B) sin ½ (A − B)
cos A − cos B = −2 sin ½ (A + B) sin ½ (A − B)
Dengan demikian penyelesaian soal di atas adalah:
![Tahap penyelesaian soal selisih sinus dan kosinus UN 2017 Tahap penyelesaian soal selisih sinus dan kosinus UN 2017](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyN-b5MrG_u7luJc0Ssryw_VMc5V0MXJxTPVJXTRQKldK8MF4sN2E2BpaV9KMyXiHmCkluSvyeglvzM_T6nkp42SvbPMZvZpqw-CbfAY5GgmRVzNltxnD5PXbEQj-UygWWl262-4EdoUY/s1600/solusi-selisih-sin.jpg)
Sudut 210° masuk dalam kuadran III sehingga bisa diganti 180° + 30°. Rumus sinus dan kosinus dalam kuadran III adalah:
sin(180° + α) = −sin α
cos(180° + α) = −cos α
cos(180° + α) = −cos α
Sehingga penyelesaian di atas dapat dilanjutkan menjadi:
![Penyelesaian akhir soal selisih sinus dan kosinus UN 2017 Penyelesaian akhir soal selisih sinus dan kosinus UN 2017](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEib4UWk1zlLpsDHewEQl-Hjm0AQXYsAX6tERCiw6qki1ltp9eJ33ZBrOajS3EBiNhaVWrtSzA9nJ33VqoWIu05K3DE-QLyV9jQOP5d2dqjEN-grnpeXGUsw3bkftFKcfeqJx_6ZhFYhz1o/s1600/akhir-solusi-sinus.jpg)
Jadi, nilai dari perbandingan trigonometri tersebut adalah −√3 (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri.
Soal No. 29 tentang Sudut antara Garis dan Bidang dalam Dimensi Tiga
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika α adalah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai sin α = ….A. 1/2
B. 1/3 √3
C. 1/2 √2
D. 1/2 √3
E. 2/3 √2
B. 1/3 √3
C. 1/2 √2
D. 1/2 √3
E. 2/3 √2
Pembahasan
Perhatikan ilustrasi gambar untuk soal di atas!
![Sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF dalam kubus ABCD.EFGH Sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF dalam kubus ABCD.EFGH](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXjqF_1WfQzbTkb6CkDVZbNXg0389U2ODJyBcmezdj53MVDfrwE9SDB2cO-a5AEywlwLyYyr-6RcstayGVmWlkNyXQgeSptTaxjYNJw4KzMVVPbaN1hRhlXN5kWC_0dqSd8ZtUj_uk7m0/s1600/sudut-AFH-BDHF.jpg)
Misalkan panjang sisi kubus tersebut adalah a. Panjang PQ sama dengan panjang sisi kubus sedangkan panjang AQ sama dengan setengah diagonal bidang. Sehingga:
![Data-data untuk menentukan sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD Data-data untuk menentukan sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1HVA-bWtngnrC7Ddz6sEvPime9QYymPREjQUBhiaTvRhxbrOjV4jr9mFrsi_tJ1sprZpCiFvT53gFOBq9zYl2_TBraqSH63gfc6pWMglikTG4yB4220vxMqlBLnk9bZSZFTi5aKdFmaE/s1600/data-kubus.jpg)
Dengan demikian, nilai sinus α adalah:
![Sinus sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD dalam kubus ABCD.EFGH Sinus sudut antara bidang AFH dan bidang ABCD dalam kubus ABCD.EFGH](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgj9TZl5MHDcQUPdFeMOKMJ07Q6pMmA6Rd-_uGEJ7frpeGfVJIDu7F7V_riJvJsbD8Nz1JSdtTyw-nUhr1Xzov1DehkRtTlVvD926RmBbX_Jh7Goxn4akMrW4QRcmPCXGNShGHMoPdfRY8/s1600/sin-alfa2.jpg)
Jadi, nilai sinus sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF adalah 1/3 √3 (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Garis dan Bidang.
Soal No. 30 tentang Jarak antara Titik, Garis, dan Bidang dalam Dimensi Tiga
Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik M ke bidang LNQ adalah ….A. 2√2 cm
B. 2√3 cm
C. 3√2 cm
D. 3√3 cm
E. 4√3 cm
B. 2√3 cm
C. 3√2 cm
D. 3√3 cm
E. 4√3 cm
Pembahasan
Perhatikan gambar berikut ini!
![Jarak titik M ke bidang LNQ dalam kubus KLMN.OPQR Jarak titik M ke bidang LNQ dalam kubus KLMN.OPQR](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEic0_b90Isy4K1wg3wmsGX13Q3VICJTyzSDpkmC4xc_UYUPuhDM0hOu62-W0WIo7gSFW_vL5ZCKJJtNq_Y3m168AUFz5kkAtpzEmkCYPzI3FgCKzbOhNhCuBg6UpYkB5lZXjx8M5eRL2YE/s1600/M-ke-LNQ.jpg)
Jarak titik M ke bidang LNQ adalah garis MS. Ternyata bila garis MS diperpanjang akan tepat melalui titik O, di mana MO adalah diagonal ruang.
MO = a√3
= 6√3 cm
= 6√3 cm
Perbandingan antara MS : SO = 1 : 2, sehingga:
MS = 1/3 MO
= 1/3 × 6√3
= 2√3
= 1/3 × 6√3
= 2√3
Jadi, jarak titik M ke bidang LNQ adalah 2√3 cm (B).
Belum ada Komentar untuk "Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 26 - 30"
Posting Komentar