Pembahasan Matematika No. 6 - 10 TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode Naskah 157
Jumat, 25 Mei 2018
Tambah Komentar
Pembahasan soal Matematika Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD
Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun
2017 Kode Naskah 157 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:
- irisan kerucut,
- suku banyak,
- geometri,
- integral, dan
- limit fungsi trigonometri.
Soal No. 6 tentang Irisan Kerucut
Lingkaran x2 + y2 − 4x + 2y = 4 menyinggung hiperbola
Jika asimtot hiperbola tersebut mempunyai gradien 2 maka nila b2 − a2 = ….
![Persamaan hiperbola dengan pusat (2, -1) Persamaan hiperbola dengan pusat (2, -1), TKD saintek SBMPTN 2017 Kode Naskah 157](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeAhjDTkVlKIsPpXKE5l7tYCh9uJnXxosRcSls2G13f5p-kQ0kCAPr1Mq2cwqeDXYTrH8NSL-wGpfYKyZ_sWvdDPSnzDsCWCAZLad1yyv4U4YX5U32BvjKm8fFhhQwHdNLpQe-tuGKju_u/s1600/prs-hiperbola.jpg)
Jika asimtot hiperbola tersebut mempunyai gradien 2 maka nila b2 − a2 = ….
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
E. 27
B. 6
C. 9
D. 12
E. 27
Pembahasan
Kita perhatikan persamaan lingkaran dan bentuk umumnya terlebih dahulu.
x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Dengan membandingkan bentuk umumnya, diperoleh:
A = −4
B = 2
C = −4
B = 2
C = −4
Pusat dan jari-jari lingkaran tersebut adalah:
pusat = (−½ A, −½ B)
= (2, −1)
= (2, −1)
Jari-jari = √[¼ (A2 + B2) − C]
= √(¼ [(−4)2 + 22] − (−4))
= √9
= 3
= √(¼ [(−4)2 + 22] − (−4))
= √9
= 3
Sekarang kita perhatikan persamaan hiperbola dan bentuk bakunya.
![Persamaan baku hiperbola Membandingkan persamaan hiperbola dengan persamaan bakunya](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8EU3UkiSLGArp8kGd5IUeRM3l-Z5gc4syPVnFqVF2N8hUxNzFccjbO2-vMmYQaTwvLcMBNCXbZ4OE5yiqvwW-O4lSYFy5_zpr3vpuC_DydCXjC5hHwOAoENeVOxPSoqVVKZnidBkp6R2j/s1600/prs-baku-hiperbola.jpg)
Berdasarkan persamaan baku tersebut, diperoleh:
Pusat = (h, k)
= (2, −1)
= (2, −1)
Ternyata lingkaran dan hiperbola mempunyai titik pusat yang sama, yaitu (2, −1). Keadaan ini dapat digambarkan sebagai berikut:
![Lingkaran dan hiperbola yang berpusat di titik (2, -1) Gambar lingkaran dan hiperbola yang berpusat di titik (2, -1) , berpusat di titik yang sama](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEji6-Dsa8_PSL3U5X5r7bAonUXt-xQthcbysjxQYDMu_YwFbDcojyHQ8d2tBIjupUp7mIHGw-JLSdB8qVNG8zRJG5cRFA8nQrdtLRukWUVHljHDWj639p8EeYqG2fOlATWejraj-qQ-TKQj/s1600/lingkaran-dan-hiperbola.jpg)
Karena hiperbola menyinggung lingkaran maka puncak hiperbola tersebut adalah (−1, −1) dan (5, −1) (lihat gambar).
Mari kita substitusikan salah satu puncak tersebut ke persamaan hiperbola, ambil saja puncak (−1, −1).
![Substitusi titik puncak parabola untuk mendapatkan nilai a Substitusi titik puncak parabola untuk mendapatkan nilai a](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYMcUROmJDPmbUQ3317V1qn9Ezwgfmm71F7zYZHXmHw1WJEzJdvBKM2o5eWqOWctpwc2SQXuJrr3tPIdk4ezBBbbE2stw0VjhxDFnn-X1HErZRDVPFpwPlLOndG5UQ8rLg3Gt1G3rDNAW2/s1600/substitusi-puncak.jpg)
Diketahui bahwa gradien asimtot hiperbola adalah 2, sehingga:
b/a = 2
b2/a2 = 4
b2/9 = 4
b2 = 36
b2/a2 = 4
b2/9 = 4
b2 = 36
Dengan demikian,
b2 − a2 = 36 − 9
= 27
= 27
Jadi, nila dari b2 − a2 adalah 27 (E).
Soal No. 7 tentang Suku Banyak
Jika p(x) = (x − 1)q(x) + 1 dan q(3) = 5 maka sisa pembagian p(x) oleh (x − 1)(x − 3) adalah ….
A. 2x − 1
B. 3x − 2
C. 5x − 4
D. −3x + 4
E. −5x + 6
B. 3x − 2
C. 5x − 4
D. −3x + 4
E. −5x + 6
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita pahami kembali teorema sisa berikut ini:
Jika f(x) dibagi x − a maka sisanya adalah f(a)Karena yang ditanyakan sisa pembagian p(x) oleh (x − 1)(x − 3) maka kita tentukan dulu sisa pembagian oleh (x − 1) dan (x − 3), yaitu p(1) dan p(3).
p(x) = (x − 1)q(x) + 1
p(1) = (1 − 1)q(1) + 1
= 0 + 1
= 1
= 0 + 1
= 1
p(3) = (3 − 1)q(3) + 1
= 2×5 + 1 [ingat q(3) = 5]
= 11
= 2×5 + 1 [ingat q(3) = 5]
= 11
Misalkan sisa pembagian p(x) oleh (x − 1)(x − 3) adalah p(x) = ax + b, maka:
p(1) = a + b = 1 … (1)
p(3) = 3a + b =11 … (2)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − [bawah dikurangi atas]
2a = 10
a = 5
p(3) = 3a + b =11 … (2)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − [bawah dikurangi atas]
2a = 10
a = 5
Substitusi a = 5 ke persamaan (1).
5 + b = 1
b = 4
b = 4
Dengan demikian sisa pembagian tersebut adalah:
ax + b = 5x − 4
Jadi, sisa pembagian p(x) oleh (x − 1)(x − 3) adalah 5x − 4 (C).
Jadi, sisa pembagian p(x) oleh (x − 1)(x − 3) adalah 5x − 4 (C).
Soal No. 8 tentang Geometri
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius 3√2 melalui pusat
suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang
menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter lingkaran
kecil, lihat gambar.
Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ….A. 18Ï€ + 18
B. 18Ï€ − 18
C. 14Ï€ + 14
D. 14Ï€ − 15
E. 10Ï€ + 10
![Lingkaran besar dan lingkaran kecil berpotongan Lingkaran besar dan lingkaran kecil berpotongan, TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode 157](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqqcwDhl2sApMHIE2ftRT_d6uPJU48EKNmQgCgG8EIpavIAPwxCcKSALc4cBl6ZYGJz-mdM9D7Wxr9jFx4Kj14q7K6hr7GcWujGeA10nAuMbf1V9uNZkj-qYRQ93LaJGXO1sdtoZrKJkNt/s1600/dua-lingkaran.jpg)
Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ….A. 18Ï€ + 18
B. 18Ï€ − 18
C. 14Ï€ + 14
D. 14Ï€ − 15
E. 10Ï€ + 10
Pembahasan
Perhatikan daerah irisan kedua lingkaran tersebut!
![Daerah irisan lingkaran besar dan lingkaran kecil Daerah irisan lingkaran besar dan lingkaran kecil](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie5jZj-6gllXD6HNbKzN167KG065_Dv2LRK0XPn93ekZhM1qflRqNPC6kzkxpmfQlzliSFyFcLBPW1XxMo6_qbBJBMT0U6Au12WI6el08DByP_pq9g5cJ2tB5J8jAcqNR5jxSvwjQuZ6Q2/s1600/daerah-irisan-lingkaran.jpg)
Daerah irisan kedua lingkaran tersebut terdiri dari dua daerah, yaitu daerah I dan II.
Daerah I merupakan luas setengah lingkaran kecil yang berjari-jari rI = 3√2.
LI = ½ × Ï€rI2
= ½ × Ï€ × (3√2)2
= 9Ï€
= ½ × Ï€ × (3√2)2
= 9Ï€
Sedangkan daerah II merupakan tembereng dari lingkaran besar.
![Luas juring dan tembereng dalam daerah irisan dua lingkaran Luas juring dan tembereng dalam daerah irisan dua lingkaran](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio3XjKurH5XNTAzWLvHBIwbtlw7t_T3Pvn8kWzHMX4seGHnwVW1HWdtEdI4Ddl1nuQKoMPYDC2EN0d28mkqq2bpYuMMsg3JrElyu9Wh0k9ENqGTnQB-5TMVepgn8qz6y2z55713w3mWCSs/s1600/juring-dan-tembereng.jpg)
Tali busur AB merupakan diameter lingkaran kecil sehingga ∠AOB = 90°.
Luas daerah II merupakan pengurangan dari luas juring AOB dengan luas segitiga AOB.
LII = Lj.AOB − L.∆AOB
= (90°/360°) × Ï€rII2 − 1/2 × rII2
= 1/4 × Ï€ × 62 − 1/2 × 62
= 9Ï€ − 18
= (90°/360°) × Ï€rII2 − 1/2 × rII2
= 1/4 × Ï€ × 62 − 1/2 × 62
= 9Ï€ − 18
Dengan demikian, luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut adalah:
L = LI + LII
= 9Ï€ + 9Ï€ − 18
= 18Ï€ − 18
= 9Ï€ + 9Ï€ − 18
= 18Ï€ − 18
Jadi, luas daerah irisan kedua lingkaran adalah 18Ï€ − 18 (B).
Soal No. 9 tentang Integral
Jika
dengan f(x) fungsi genap dan
maka
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
![Integral batas fungsi f(x)(sin x +1) =8 Integral batas fungsi f(x)(sin x +1) =8](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeVXpuBHt_fwSh4KX4wmwjQ458fONsjABa6j9CBTyTpfxO_VOyUEOho38Oidbl4ZGqNMyHC7pXvJhZGSmr6qSzMMGSGfdE9Jmurj6sxYyNEASzfy67OsOrla1G0YoLYeXTm6CtQqgzTwnW/s1600/integral-fungsi.jpg)
dengan f(x) fungsi genap dan
![Integral f(x) dengan batas -2 dan 4 Integral f(x) dengan batas -2 dan 4](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhblWmHMYzXdtag7EVbAcQYetjBiXqdu2JK9en8fHzMnZdXQMCpkRVwtl_i-ytRnQzCjkvLkCK0Fgmyv6DVKJHKTZy1a1btEVWJSFavKdAoLFOmfTagwm2gZQVoWQ5qGWEaHIO5GGDBZehX/s1600/integral-batas5.jpg)
maka
![Integral f(x) dehgan batas -2 dan 0 Integral f(x) dehgan batas -2 dan 0](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTDNiwGjWqxq-OXlYo7ZwJ9ExiCU0OhWFw4s829mbi0GoRqh5CcoJEroKddBnmEd8t16tnTCuxtYqj0oPh-il0Dz3-iUi_LUlis5_NnMiq54qQWt8DhXQqOQI8IYDfCOFRvxvksq7dTN9l/s1600/integral-batas6.jpg)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Pembahasan
Mari kita pahami terlebih dahulu perbedaan antara fungsi genap dan fungsi ganjil!
Fungsi Genap
Jika f(x) fungsi genap maka berlaku:
- f(−a) = f(a)
- grafik f(x) dalam interval −a ≤ x ≤ a berbentuk simetris
Fungsi Ganjil
Jika f(x) fungsi ganjil maka berlaku:
- f(−a) = −f(a)
- grafik f(x) dalam interval -a ≤ x ≤ a berlawanan tanda
Nah, mari kita selesaikan soal di atas!
![Penjabaran integral berdasarkan sifatnya Penjabaran integral berdasarkan sifatnya](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSDsRDpEjkZEOthtbM5c2ij2ZrKLt6N3iPrv5vIi8WMqQ06fxHUx12Wfn88pmzPuxHZsCxMJKboLbP6Tfzg-nARL4gA10BVQG5D67eVLrTph40pbtuozQLHs04l5Z-u9sDYai9Hoyr0KLm/s1600/solusi-integral-1.jpg)
f(x) adalah fungsi genap dan sin x adalah fungsi ganjil sehingga f(x) sin x adalah fungsi ganjil.
Dengan demikian diperoleh:
Selanjutnya kita tuntaskan integral berikut ini.
![Penyelesaian akhir integral fungsi ganjil dan genap Penyelesaian akhir integral fungsi ganjil dan genap](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1LTDK6r2e7ua1DPTo8V_ywhh4YjAIQl4QAbwbwYbtCAK0_jjXU_jgDDuZ2WX4iOaG26-HDz9dqkd6lSmrOhd9KoBbiwnuc67vSGjWHsioI8FAKyh_GHqMbe5DFwo2ZyxnjsOJEne2bdMr/s1600/solusi-integral-3.jpg)
Jadi, nilai dari integral fungsi f(x) dengan batas −2 sampai dengan 0 adalah 0 (A).
Soal No. 10 tentang Limit Fungsi Trigonometri
![Soal limit fungsi trigonometri TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode 157 Soal limit fungsi trigonometri TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode 157](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjc6DCPLRrnqYdHW1K3l5Nj4Mw_jsqk_PMl9EK6EuWJ2CpdEa5JCOrMp7vz7twsMkrBYvVc4xrSeFYso83B3Z7iO-apPK70kgqucpqsjzMrQ0WixU_z5o736sSaHYragc9uZRwnTI3nndQI/s1600/limit-trigonometri6.jpg)
A. −2
B. −1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan
Langkah pertama kita ubah csc x menjadi 1/sin x.
![Mengubah csc x menjadi 1/(sin x) Mengubah csc x menjadi 1/(sin x)](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhxPcAOD49p4yh5Ky0wqCwPsA30oDqHBYcrbzJTv0KXiEQRpGPCAfYZZJYFfXMWH3SDVRDB4mXtVdi56cgaSWfX7nLkCvvp0ph0E9pq0l6IYukE11KoOslrCR80ri_zOFa5LSka5DFn82B/s1600/csc-x-ke-sin-x.jpg)
Kemudian kita kalikan dengan bilangan sekawan dari 1 − √(cos x), yaitu 1 + √(cos x).
![Mengalikan bilangan sekawan dari 1 - akar cos x Mengalikan bilangan sekawan dari 1 - akar cos x](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAGhKsLIOvyBrsy7ojikUZrOYT7M9bVe-Jx98EDBxNhMe2DW-fblRAgCmmwYH0uvQo8BZexSQ48PHMR-BfIcVE_XrB1wqVHI7pfWGPe1tqf_McBM5g6XspNTgdW3yUDm0McqMtGNmZjXkM/s1600/mengalikan-sekawan.jpg)
Analogi dari rumus cos 2x = 1 − 2 sin2x, diperoleh cos x = 1 − 2 sin2 ½x sehingga 1 − cos x = 2 sin2 ½x.
![Mengubah 1 -cos x menjadi 2 sin^2 1/2 x Mengubah 1 -cos x menjadi 2 sin^2 1/2 x](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwF08ehFTbnNPfkHeLYpoIkM38nd8VakR6u_70e15RUl0vsEwQy3pY87zt-C9ug_MqyHVnzb-a5XgA3cq8-u6PZWlQPsnWPE5N1UI158cM1QJRmwX01S2XG3_z-wdIxi5HtB1PVh2Bcno7/s1600/mengubah-1-cos-x.jpg)
Limit trigonometri mendekati nol berlaku sin x = x sehingga:
Nah, sekarang tinggal memasukkan x = 0.
= 1 + √(cos 0 )
= 1 + 1
= 2
= 1 + 1
= 2
Jadi, nilai limit fungsi trigonometri tersebut adalah 2 (E).
Belum ada Komentar untuk "Pembahasan Matematika No. 6 - 10 TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode Naskah 157"
Posting Komentar