Kumpulan RPP Kurikulum 2013 SD, MI, SMP , MTS, SMA, MA, SMK Terlengkap

Jumat, 25 Mei 2018

Pembahasan Matematika No. 6 - 10 TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode Naskah 157

Pembahasan soal Matematika Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2017 Kode Naskah 157 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:
  • irisan kerucut, 
  • suku banyak, 
  • geometri, 
  • integral, dan 
  • limit fungsi trigonometri.

Soal No. 6 tentang Irisan Kerucut

Lingkaran x2 + y2 − 4x + 2y = 4 menyinggung hiperbola
Persamaan hiperbola dengan pusat (2, -1), TKD saintek SBMPTN 2017 Kode Naskah 157

Jika asimtot hiperbola tersebut mempunyai gradien 2 maka nila b2a2 = ….
A.   3
B.   6
C.   9
D.   12
E.   27

Pembahasan

Kita perhatikan persamaan lingkaran dan bentuk umumnya terlebih dahulu.
x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Dengan membandingkan bentuk umumnya, diperoleh:
A = −4
B = 2
C = −4
Pusat dan jari-jari lingkaran tersebut adalah:
pusat = (−½ A, −½ B)
         = (2, −1)
Jari-jari = √[¼ (A2 + B2) − C]
            = √(¼ [(−4)2 + 22] − (−4))
            = √9
            = 3
Sekarang kita perhatikan persamaan hiperbola dan bentuk bakunya.
Membandingkan persamaan hiperbola dengan persamaan bakunya

Berdasarkan persamaan baku tersebut, diperoleh:
Pusat = (h, k)
         = (2, −1)
Ternyata lingkaran dan hiperbola mempunyai titik pusat yang sama, yaitu (2, −1). Keadaan ini dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar lingkaran dan hiperbola yang berpusat di titik (2, -1) , berpusat di titik yang sama

Karena hiperbola menyinggung lingkaran maka puncak hiperbola tersebut adalah (−1, −1) dan (5, −1) (lihat gambar).
Mari kita substitusikan salah satu puncak tersebut ke persamaan hiperbola, ambil saja puncak (−1, −1).
Substitusi titik puncak parabola untuk mendapatkan nilai a

Diketahui bahwa gradien asimtot hiperbola adalah 2, sehingga:
   b/a = 2
b2/a2 = 4
  b2/9 = 4
     b2 = 36
Dengan demikian,
b2a2 = 36 − 9
            = 27
Jadi, nila dari b2a2 adalah 27 (E).

Soal No. 7 tentang Suku Banyak

Jika p(x) = (x − 1)q(x) + 1 dan q(3) = 5 maka sisa pembagian p(x) oleh (x − 1)(x − 3) adalah ….
A.   2x − 1
B.   3x − 2
C.   5x − 4
D.   −3x + 4
E.   −5x + 6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita pahami kembali teorema sisa berikut ini:
Jika f(x) dibagi xa maka sisanya adalah f(a)
Karena yang ditanyakan sisa pembagian p(x) oleh (x − 1)(x − 3) maka kita tentukan dulu sisa pembagian oleh (x − 1) dan (x − 3), yaitu p(1) dan p(3).
p(x) = (x − 1)q(x) + 1
p(1) = (1 − 1)q(1) + 1
        = 0 + 1
        = 1
p(3) = (3 − 1)q(3) + 1
        = 2×5 + 1  [ingat q(3) = 5]
        = 11
Misalkan sisa pembagian p(x) oleh (x − 1)(x − 3) adalah p(x) = ax + b, maka:
p(1) = a + b = 1        … (1)
p(3) = 3a + b =11      … (2)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  − [bawah dikurangi atas]
                 2a = 10
                   a = 5
Substitusi a = 5 ke persamaan (1).
5 + b = 1
      b = 4
Dengan demikian sisa pembagian tersebut adalah:
ax + b = 5x − 4
Jadi, sisa pembagian p(x) oleh (x − 1)(x − 3) adalah 5x − 4 (C).

Soal No. 8 tentang Geometri

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius 3√2 melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter lingkaran kecil, lihat gambar.
Lingkaran besar dan lingkaran kecil berpotongan, TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode 157

Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ….A.   18π + 18
B.   18π − 18
C.   14π + 14
D.   14π − 15
E.   10π + 10

Pembahasan

Perhatikan daerah irisan kedua lingkaran tersebut!
Daerah irisan lingkaran besar dan lingkaran kecil

Daerah irisan kedua lingkaran tersebut terdiri dari dua daerah, yaitu daerah I dan II.
Daerah I merupakan luas setengah lingkaran kecil yang berjari-jari rI = 3√2.
LI = ½ × πrI2
    = ½ × π × (3√2)2
    = 9π
Sedangkan daerah II merupakan tembereng dari lingkaran besar.
Luas juring dan tembereng dalam daerah irisan dua lingkaran

Tali busur AB merupakan diameter lingkaran kecil sehingga ∠AOB = 90°.
Luas daerah II merupakan pengurangan dari luas juring AOB dengan luas segitiga AOB.
LII = Lj.AOB − L.∆AOB
     = (90°/360°) × πrII2 − 1/2 × rII2
     = 1/4 × π × 62 − 1/2 × 62
     = 9π − 18
Dengan demikian, luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut adalah:
L = LI + LII
   = 9π + 9π − 18
   = 18π − 18
Jadi, luas daerah irisan kedua lingkaran adalah 18π − 18 (B).

Soal No. 9 tentang Integral

Jika
Integral batas fungsi f(x)(sin x +1) =8

dengan f(x) fungsi genap dan
Integral f(x) dengan batas -2 dan 4

maka
Integral f(x) dehgan batas -2 dan 0

A.   0
B.   1
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan

Mari kita pahami terlebih dahulu perbedaan antara fungsi genap dan fungsi ganjil!
Fungsi Genap
Jika f(x) fungsi genap maka berlaku:
  • f(−a) = f(a)
  • grafik f(x) dalam interval −axa berbentuk simetris
Grafik fungsi genap

Fungsi Ganjil
Jika f(x) fungsi ganjil maka berlaku:
  • f(−a) = −f(a)
  • grafik f(x) dalam interval -axa berlawanan tanda
Grafik fungsi ganjil

Nah, mari kita selesaikan soal di atas!
Penjabaran integral berdasarkan sifatnya

f(x) adalah fungsi genap dan sin ⁡x adalah fungsi ganjil sehingga f(x) sin ⁡x adalah fungsi ganjil.
Dengan demikian diperoleh:
Penyelesaian integral fungsi genap dan ganjil

Selanjutnya kita tuntaskan integral berikut ini.
Penyelesaian akhir integral fungsi ganjil dan genap

Jadi, nilai dari integral fungsi f(x) dengan batas −2 sampai dengan 0 adalah 0 (A).

Soal No. 10 tentang Limit Fungsi Trigonometri

Soal limit fungsi trigonometri TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode 157

A.   −2
B.   −1
C.   0
D.   1
E.   2

Pembahasan

Langkah pertama kita ubah csc⁡ x menjadi 1/sin ⁡x.
Mengubah csc x menjadi 1/(sin x)

Kemudian kita kalikan dengan bilangan sekawan dari 1 − √(cos⁡ x), yaitu 1 + √(cos⁡ x).
Mengalikan bilangan sekawan dari 1 - akar cos x

Analogi dari rumus cos⁡ 2x = 1 − 2 sin2⁡x, diperoleh cos⁡ x = 1 − 2 sin2⁡ ½x sehingga 1 − cos⁡ x = 2 sin2⁡ ½x.
Mengubah 1 -cos x menjadi 2 sin^2 1/2 x

Limit trigonometri mendekati nol berlaku sin⁡ x = x sehingga:
Limit trigonometri mendekati nol berlaku sin x = x

Nah, sekarang tinggal memasukkan x = 0.
= 1 + √(cos ⁡0 )
= 1 + 1
= 2
Jadi, nilai limit fungsi trigonometri tersebut adalah 2 (E).

loading...
Previous
Next Post »

Posting Komentar