Jumat, 25 Mei 2018

Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode Naskah 157


Pembahasan soal Matematika Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2017 Kode Naskah 157 nomor 1 sampai dengan nomor 5 tentang:
  • sistem persamaan linear, 
  • matematika keuangan, 
  • pertidaksamaan, 
  • vektor, dan 
  • persamaan trigonometri.

Soal No. 1 tentang Sistem Persamaan Linear

Jika x dan y memenuhi
Sistem persalaam linear TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode Naskah 157

maka nilai x + 2y = ….A.   1
B.   2
C.   3
D.   4
E.   5

Pembahasan

Karena kedua persamaan di atas mengandung penyebut yang sama maka dapat kita misalkan:
Permisalan sistem persamaan linear dalam bentuk pecahan

Sehingga diperoleh sistem persamaan linear:
2pq = 2       … (1)
p + 3q = −5/2  … (2)
Selanjutnya kita eliminasi kedua persamaan tersebut dengan mengalikan 2 pada persamaan (2) terlebih dahulu. Diperoleh:
2p −   q = 2
2p + 6q = −5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  −
      −7q = 7
          q = −1
Dengan diperolehnya q = −1, kita dapat memperoleh nilai p dari persamaan (1).
2p − q = 2
2p + 1 = 2
      2p = 1
        p = 1/2
Nah, sekarang perhatikan permisalan dan pertanyaan soal di atas!
Ternyata nilai x + 2y merupakan nilai dari 1/p − 1/q.
Penyelesaian akhir sistem persamaan linear SBMTPN 2017 Kode 157

Jadi, nilai dari x + 2y adalah 3 (C).

Soal No. 2 tentang Matematika Keuangan

Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ….
Opsi jawaban Matematika Keuangan SBMPTN 2017 Kode 157

Pembahasan

Soal di atas bisa saja diselesaikan dengan rumus bunga tunggal maupun bunga majemuk. Namun karena semua opsi jawaban mengandung operasi akar maka soal tersebut harus diselesaikan dengan rumus bunga majemuk.
Adapun rumus bunga majemuk adalah sebagai berikut:
Mn = M0 (1 + i)n
dengan  Mn : Modal setelah n periode
             M0 : Modal awal
                 i : besar bunga
                n : periode
Sementara itu, pada soal diketahui:
Mn = 2M0
   n = 5 tahun
      = 10 semester
Dengan demikian, rumus di atas menjadi:
Penentuan tingkat suku bunga per tahun jika dalam 5 tahun modal menjadi 2 kali lipat

Tingkat suku bunga di atas adalah tingkat suku bunga per semester, sedangkan tingkat suku bunga per tahun adalah:
Besar bunga per tahun atau per 2 semester

Jadi, besar tingkat suku bunga per tahun adalah opsi (A).

Soal No. 3 tentang Pertidaksamaan

Banyak bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan
Soal Pertidaksamaan TKD Saintek SBMPTN 2017 Kode Naskah 157

adalah ….A.   3
B.   4
C.   5
D.   6
E.   7

Pembahasan

Langkah pertama menyelesaikan pertidaksamaan adalah memindahkan semua suku ke ruas kiri atau ruas kanan dijadikan nol.
Langkah awal penyelesaian pertidaksamaan, memindahkan semua suku ke ruas kiri, ruas kanan nol

Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan menyamakan penyebutnya.
Menyamakan penyebut pertidaksamaan bentuk pecahan

Kemudian pembilangnya kita jabarkan dengan menggunakan rumus (a + b)(ab) = a2b2.
Penjabaran perkalian dua suku ke dalam bentuk kuadrat

Nah, sekarang kita buat garis bilangan untuk bentuk pertidaksamaan terakhir ini.
Garis bilangan pertidaksamaan SBMPTN 2017 kode naskah 157

Untuk menentukan daerah positif dan negatif, masukkan saja x = 1000 (hehehe... gak usah tanggung-tanggung). Hasilnya positif kan?
Sedangkan x = 1000 adalah daerah sebelah kanan. Berarti daerah sebelah kanan bernilai positif.
Selanjutnya daerah yang lain diisi secara berseling. Sehingga daerah tengah bernilai negatif dan daerah sebelah kiri bernilai negatif.
Berdasarkan garis bilangan di atas, hasil penentuan interval x adalah:
−4 ≤ x ≤ 4
Namun, perlu diingat! Pertidaksama di atas bertanda ‘≤’ (mengandung tanda ‘=’) sehingga harus diberlakukan syarat penyebut.
Penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol sehingga:
x + 4 ≠ 0
       x ≠ −4
x − 4 ≠ 0
      x ≠ 4
Dengan memperhitungkan syarat penyebut di atas maka hasilnya penyelesaiannya adalah:
−4 < x < 4
Untuk x bilangan bulat, himpunan penyelesaian untuk x adalah:
    x = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
n(x) = 7
Jadi, banyak bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah 7 (E).

Soal No. 4 tentang Vektor

Diketahui tiga vektor a, b, dan c dengan bc = 9 dan c = b + a. Misalkan γ adalah sudut antara vektor a dan c. Jika γ = 30° dan |c| = 6 maka |a| = ….A.   1/4
B.   1/3
C.   1/3 √3
D.   1/4 √7
E.   3√3

Pembahasan

Diketahui:
bc = 9
c = b + a  atau  a = cb
|c| = 6
γ = 30°
Karena γ adalah sudut antara vektor a dan c maka berlaku rumus:
Rumus kosinus sudut antara dua vektor a dan c

Data untuk vektor a tidak diketahui sehingga kita perlu mengganti a menjadi a = cb. Diperoleh:
Sustitusi vektor a menjadi a = c - b

Pada vektor berlaku a2 = |a|2 sehingga diperoleh:
Penentuan panjang vektor a dengan rumus kosinus sudut antara 2 vektor a dan c

Jadi, nilai dari |a| adalah 3√3 (E).

Soal No. 5 tentang Persamaan Trigonometri

Jika
Soal persamaan trigonometri TKD Saintek SBMPTN 2017 kode naskah 157, tangen

dengan 0 < x < π/2 maka cos2x − sin2 x = ….A.   1/√26
B.   2/√26
C.   3/√26
D.   4/√26
E.   5/√26

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal di atas, sebaiknya memahami kembali rumus trigonometri sudut ganda berikut ini:
Rumus trigonometri sudut ganda, sin 2x, cos 2x, dan tan 2x

Dengan berpedoman pada rumus di atas, soal di atas dapat diselesaikan dengan mudah sebagai berikut:
Penyelesaian dengan menggunakan rumus tan 2x

Sekarang kita buat segitiga trigonometri untuk tan⁡ 2x = 5.
Segitiga trigonometri dari tan 2x untuk menentukan cos 2x

Dengan demikian,
cos2x − sin2 x = cos ⁡2x
                        = 1/√26
Jadi, nilai dari cos2x − sin2 x  adalah 1/√26 (A).

Artikel Terkait