Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran
Jumat, 25 Mei 2018
Tambah Komentar
Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Lingkaran yang meliputi:
- persamaan lingkaran,
- persamaan garis singgung lingkaran.
Soal tentang Lingkaran UN 2013
Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, −3) dan berdiameter 8 cm adalah ….
A. x2 + y2 − 8x + 6y = 0
B. x2 + y2 + 8x − 6y + 16 = 0
C. x2 + y2 − 8x + 6y + 16 = 0
D. x2 + y2 + 8x − 6y + 9 = 0
E. x2 + y2 − 8x + 6y + 9 = 0
B. x2 + y2 + 8x − 6y + 16 = 0
C. x2 + y2 − 8x + 6y + 16 = 0
D. x2 + y2 + 8x − 6y + 9 = 0
E. x2 + y2 − 8x + 6y + 9 = 0
Pembahasan
Persamaan lingkaran dengan pusat (x1, y1) dan jari-jari r dirumuskan:
(x − x1)2 + (y − y1)2 = r2
Berdasarkan rumus di atas, persamaan lingkaran dengan pusat (4, −3) dan diameter 8 (jari-jari 4) adalah:
(x − 4)2 + (y + 3)2 = 42
x2 − 8x + 16 + y2 + 6y + 9 = 16
x2 + y2 − 8x + 6y + 9 = 0
x2 − 8x + 16 + y2 + 6y + 9 = 16
x2 + y2 − 8x + 6y + 9 = 0
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, −3) dan berdiameter 8 cm adalah opsi (E).
Soal tentang Lingkaran UN 2015
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1, −3) dan menyinggung garis x + 2y + 10 = 0 adalah ….A. x2 + y2 − 2x + 6y + 5 = 0
B. x2 + y2 − 2x − 6y + 5 = 0
C. x2 + y2 + 2x + 6y + 5 = 0
D. x2 + y2 − 2x + 6y + 15 = 0
E. x2 + y2 + 2x + 6y + 15 = 0
B. x2 + y2 − 2x − 6y + 5 = 0
C. x2 + y2 + 2x + 6y + 5 = 0
D. x2 + y2 − 2x + 6y + 15 = 0
E. x2 + y2 + 2x + 6y + 15 = 0
Pembahasan
Jarak antara titik pusat lingkaran (x1, y1) terhadap garis singgung ax + by + c = 0 merupakan jari-jari lingkaran tersebut yang dirumuskan:
Sehingga jari-jari yang berpusat di titik (1, −3) dan menyinggung garis x + 2y + 10 = 0 adalah:
Dengan demikian, persamaan lingkaran tersebut adalah:
(x − x1)2 + (y − y1)2 = r2
(x − 1)2 + (y + 3)2 = (√5)2
x2 − 2x + 1 + y2 + 6y + 9 = 5
x2 + y2 − 2x + 6y + 5 = 0
(x − 1)2 + (y + 3)2 = (√5)2
x2 − 2x + 1 + y2 + 6y + 9 = 5
x2 + y2 − 2x + 6y + 5 = 0
Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah opsi (A).
Soal tentang Lingkaran UN 2011
Persamaan garis singgung lingkaran
x2 + y2 − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah ….A. 3x − 4y − 41 = 0
B. 4x + 3y − 55 = 0
C. 4x − 5y − 53 = 0
D. 4x + 3y − 31 = 0
E. 4x − 3y − 40 = 0
x2 + y2 − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah ….A. 3x − 4y − 41 = 0
B. 4x + 3y − 55 = 0
C. 4x − 5y − 53 = 0
D. 4x + 3y − 31 = 0
E. 4x − 3y − 40 = 0
Pembahasan
Persamaan garis singgung lingkaran dalam bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di titik (x1, y1) dirumuskan sebagai:
x1 x + y1 y + ½A(x1 + x) + ½B(y1 + y) + C = 0
Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah:
7x + 1y − 3(7 + x) + 2(1 + y) − 12 = 0
7x + y − 21 − 3x + 2 + 2y − 12 = 0
4x + 3y − 31 = 0
7x + y − 21 − 3x + 2 + 2y − 12 = 0
4x + 3y − 31 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah opsi (D).
Soal tentang Lingkaran UN 2014
Persamaan garis singgung pada lingkaran 2x2 + 2y2 + 4x − 8y − 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y − 15 = 0 adalah ….A. 5x + 12y − 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
B. 5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
C. 5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
D. 12x + 5y − 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
E. 12x + 5y − 20 = 0 dan 12x + 5y + 20 = 0
B. 5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
C. 5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
D. 12x + 5y − 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
E. 12x + 5y − 20 = 0 dan 12x + 5y + 20 = 0
Pembahasan
Persamaan lingkaran pada soal di atas dapat disederhanakan dengan cara membagi 2 pada setiap sukunya.
2x2 + 2y2 + 4x − 8y − 8 = 0
x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0
x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0
Setelah itu, kita ubah bentuk umum tersebut menjadi bentuk baku dengan menggunakan kuadrat sempurna.
x2 + y2 + 2x − 4y = 4
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 4 + 12 + (−2)2
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 9
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 4 + 12 + (−2)2
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 9
Bila dibandingkan dengan bentuk bakunya:
(x − x1)2 + (y − y1)2 = r2
Diperoleh:
x1 = −1
y1 = 2
r2 = 9
r = 3
y1 = 2
r2 = 9
r = 3
Sementara itu, persamaan garis singgung lingkaran tersebut sejajar dengan garis 5x + 12y − 15 = 0. Artinya, gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis tersebut.
Gradien garis 5x + 12y − 15 = 0 adalah:
m = −a/b
= −5/12
= −5/12
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m dirumuskan:
Kalikan semua suku dengan 12.
12y − 24 = −5(x + 1) ± 3∙13
12y − 24 = −5x −5 ± 39
12y − 24 = −5x −5 ± 39
Kita ambil nilai plus dan minus untuk persamaan di atas:
I. 12y − 24 = −5x −5 + 39
5x + 12y − 58 = 0
5x + 12y − 58 = 0
II. 12y − 24 = −5x −5 − 39
5x + 12y + 20 = 0
5x + 12y + 20 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah opsi (B).
Soal tentang Lingkaran UN 2012
Lingkaran L ∶ (x + 1)2 + (y − 3)2 = 9
memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ….A. x = 2 dan x = −4
B. x = 2 dan x = −2
C. x = −2 dan x = 4
D. x = −2 dan x = −4
E. x = 8 dan x = −10
memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ….A. x = 2 dan x = −4
B. x = 2 dan x = −2
C. x = −2 dan x = 4
D. x = −2 dan x = −4
E. x = 8 dan x = −10
Pembahasan
Titik potong antara lingkaran dan garis dapat dicari dengan cara substitusi y = 3 pada lingkaran L.
(x + 1)2 + (y − 3)2 = 9
(x + 1)2 + (3 − 3)2 = 9
(x + 1)2 = 9
x + 1 = ±3
x = ±3 − 1
x1 = 2
x2 = −4
(x + 1)2 + (3 − 3)2 = 9
(x + 1)2 = 9
x + 1 = ±3
x = ±3 − 1
x1 = 2
x2 = −4
Sehingga titik potong lingkaran dan garis tersebut adalah:
(2, 3) dan (−4, 3)
Titik potong tersebut juga merupakan titik singgung lingkaran.
Persamaan garis singgung lingkaran (x + 1)2 + (y − 3)2 = 9 melalui (x1, y1) dirumuskan:
(x1 + 1)(x + 1) + (y1 − 3)(y − 3) = 9
Substitusi (2, 3) sebagai (x1, y1) diperoleh:
(2 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(y − 3) = 9
3(x + 1) = 9
x + 1 = 3
x = 2
3(x + 1) = 9
x + 1 = 3
x = 2
Substitusi (−4, 3) sebagai (x1, y1) diperoleh:
(−4 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(y − 3) = 9
−3(x + 1) = 9
x + 1 = −3
x = −4
−3(x + 1) = 9
x + 1 = −3
x = −4
Jadi, garis singgung lingkaran tersebut adalah x = 2 dan x = −4 (A).
Belum ada Komentar untuk "Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran"
Posting Komentar