Kumpulan RPP Kurikulum 2013 SD, MI, SMP , MTS, SMA, MA, SMK Terlengkap

Jumat, 25 Mei 2018

Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Lingkaran yang meliputi:
  • persamaan lingkaran, 
  • persamaan garis singgung lingkaran.

Soal tentang Lingkaran UN 2013

Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, −3) dan berdiameter 8 cm adalah ….
A.   x2 + y2 − 8x + 6y = 0
B.   x2 + y2 + 8x − 6y + 16 = 0
C.   x2 + y2 − 8x + 6y + 16 = 0
D.   x2 + y2 + 8x − 6y + 9 = 0
E.   x2 + y2 − 8x + 6y + 9 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran dengan pusat (x1, y1) dan jari-jari r dirumuskan:
(xx1)2 + (yy1)2 = r2
Berdasarkan rumus di atas, persamaan lingkaran dengan pusat (4, −3) dan diameter 8 (jari-jari 4) adalah:
(x − 4)2 + (y + 3)2 = 42
x2 − 8x + 16 + y2 + 6y + 9 = 16
x2 + y2 − 8x + 6y + 9 = 0
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, −3) dan berdiameter 8 cm adalah opsi (E).

Soal tentang Lingkaran UN 2015

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1, −3) dan menyinggung garis x + 2y + 10 = 0 adalah ….A.   x2 + y2 − 2x + 6y + 5 = 0
B.   x2 + y2 − 2x − 6y + 5 = 0
C.   x2 + y2 + 2x + 6y + 5 = 0
D.   x2 + y2 − 2x + 6y + 15 = 0
E.   x2 + y2 + 2x + 6y + 15 = 0

Pembahasan

Jarak antara titik pusat lingkaran (x1, y1) terhadap garis singgung ax + by + c = 0 merupakan jari-jari lingkaran tersebut yang dirumuskan:
Rumus jarak titik pusat ke garis singgung lingkaran, jari-jati lingkaran

Sehingga jari-jari yang berpusat di titik (1, −3) dan menyinggung garis x + 2y + 10 = 0 adalah:
Jari-jari lingkaran yang berpusat di titik (1, -3) dan menyinggung garis x+2y+10=0

Dengan demikian, persamaan lingkaran tersebut adalah:
(xx1)2 + (yy1)2 = r2
(x − 1)2 + (y + 3)2 = (√5)2
x2 − 2x + 1 + y2 + 6y + 9 = 5
x2 + y2 − 2x + 6y + 5 = 0
Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah opsi (A).

Soal tentang Lingkaran UN 2011

Persamaan garis singgung lingkaran
x2 + y2 − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah ….A.   3x − 4y − 41 = 0
B.   4x + 3y − 55 = 0
C.   4x − 5y − 53 = 0
D.   4x + 3y − 31 = 0
E.   4x − 3y − 40 = 0

Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran dalam bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di titik (x1, y1) dirumuskan sebagai:
x1 x + y1 y + ½A(x1 + x) + ½B(y1 + y) + C = 0
Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah:
7x + 1y − 3(7 + x) + 2(1 + y) − 12 = 0
     7x + y − 21 − 3x + 2 + 2y − 12 = 0
                                  4x + 3y − 31 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah opsi (D).

Soal tentang Lingkaran UN 2014

Persamaan garis singgung pada lingkaran 2x2 + 2y2 + 4x − 8y − 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y − 15 = 0 adalah ….A.   5x + 12y − 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
B.   5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
C.   5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
D.   12x + 5y − 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
E.   12x + 5y − 20 = 0 dan 12x + 5y + 20 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran pada soal di atas dapat disederhanakan dengan cara membagi 2 pada setiap sukunya.
2x2 + 2y2 + 4x − 8y − 8 = 0
x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0
Setelah itu, kita ubah bentuk umum tersebut menjadi bentuk baku dengan menggunakan kuadrat sempurna.
x2 + y2 + 2x − 4y = 4
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 4 + 12 + (−2)2
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 9
Bila dibandingkan dengan bentuk bakunya:
(xx1)2 + (yy1)2 = r2
Diperoleh:
x1 = −1
y1 = 2
r2 = 9
r = 3
Sementara itu, persamaan garis singgung lingkaran tersebut sejajar dengan garis 5x + 12y − 15 = 0. Artinya, gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis tersebut.
Gradien garis 5x + 12y − 15 = 0 adalah:
m = −a/b
    = −5/12
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m dirumuskan:
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

Kalikan semua suku dengan 12.
12y − 24 = −5(x + 1) ± 3∙13
12y − 24 = −5x −5 ± 39
Kita ambil nilai plus dan minus untuk persamaan di atas:
I.   12y − 24 = −5x −5 + 39
      5x + 12y − 58 = 0
II.  12y − 24 = −5x −5 − 39
      5x + 12y + 20 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah opsi (B).

Soal tentang Lingkaran UN 2012

Lingkaran L ∶ (x + 1)2 + (y − 3)2 = 9
memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ….A.   x = 2 dan x = −4
B.   x = 2 dan x = −2
C.   x = −2 dan x = 4
D.   x = −2 dan x = −4
E.   x = 8 dan x = −10

Pembahasan

Titik potong antara lingkaran dan garis dapat dicari dengan cara substitusi y = 3 pada lingkaran L.
(x + 1)2 + (y − 3)2 = 9
(x + 1)2 + (3 − 3)2 = 9
                 (x + 1)2 = 9
                     x + 1 = ±3
                           x = ±3 − 1
                          x1 = 2
                          x2 = −4
Sehingga titik potong lingkaran dan garis tersebut adalah:
(2, 3) dan (−4, 3)
Titik potong tersebut juga merupakan titik singgung lingkaran.
Persamaan garis singgung lingkaran (x + 1)2 + (y − 3)2 = 9 melalui (x1, y1) dirumuskan:
(x1 + 1)(x + 1) + (y1 − 3)(y − 3) = 9
Substitusi (2, 3) sebagai (x1, y1) diperoleh:
(2 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(y − 3) = 9
                                  3(x + 1) = 9
                                       x + 1 = 3
                                             x = 2
Substitusi (−4, 3) sebagai (x1, y1) diperoleh:
(−4 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(y − 3) = 9
                                   −3(x + 1) = 9
                                          x + 1 = −3
                                                x = −4
Jadi, garis singgung lingkaran tersebut adalah x = 2 dan x = −4 (A).

loading...
Previous
Next Post »

Posting Komentar