Pembahasan Matematika IPA UN: Transformasi Geometri

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Transformasi Geometri yang meliputi komposisi transformasi pencerminan terhadap sumbu x, y = x, y = −x, atau rotasi 90° pada titik, garis, dan kurva.

Soal Transformasi Geometri UN 2013

Bayangan titik A(5, −2) karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi 90° dengan pusat O adalah ....A.   (−2, −5)
B.   (−2, 5)
C.   (2, 5)
D.   (5, 2)
E.   (5, 4)

Pembahasan

Misal T₁ adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x.

Ingat:   x = 1x + 0y
         −x = −1x + 0y
            y = 0x + 1y
          −y = 0x − 1y

T₂ adalah rotasi 90° (jika tidak disebutkan berarti berlawanan arah putaran jarum jam, atau bernilai positif).

T adalah matriks komposisi transformasi T₁ dilanjutkan dengan T₂.

Berdasarkan matriks komposisi di atas, diperoleh:

x' = y
y' = x

P(x, y) → P'(y, x)

Dengan demikian, bayangan titik A(5, −2) adalah (−2, 5).

Jadi, bayangan titik A(5, −2) karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi 90° dengan pusat O adalah (−2, 5) (B).

Soal Transformasi Geometri UN 2011

Persamaan bayangan garis y = 2x − 3 karena refleksi terhadap garis y = −x dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah ….A.   y + 2x − 3 = 0
B.   y − 2x − 3 = 0
C.   2y + x − 3 = 0
D.   2y − x − 3 = 0
E.   2y + x + 3 = 0

Pembahasan

Misal T₁ adalah refleksi terhadap garis y = −x.

T₂ adalah refleksi terhadap garis y = x.

T adalah matriks komposisi transformasi T₁ dilanjutkan dengan T₂.

Berdasarkan matriks komposisi tersebut diperoleh:

x' = −x → x = −x'
y'= −y → y = −y'

Dengan demikian, bayangan dari:

   y = 2x − 3
−y' = 2(−x') − 3
−y' = −2x' − 3
y' − 2x' − 3 = 0

Jadi, bayangan dari garis tersebut adalah y − 2x − 3 = 0 (B).

Soal Transformasi Geometri UN 2009

Bayangan garis 2x − y − 6 = 0 jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi pusat O sejauh 90° adalah ….A.   2x + y − 6 = 0
B.   x + 2y − 6 = 0
C.   x − 2y − 6 = 0
D.   x + 2y + 6 = 0
E.   x − 2y + 6 = 0

Pembahasan

Misal T₁ adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x.

T₁ adalah rotasi 90°.

T adalah matriks komposisi transformasi T₁ dilanjutkan dengan T₂.

Berdasarkan matriks komposisi di atas, diperoleh:

x' = y → y = x'
y' = x → x = y'

Dengan demikian, bayangan dari garis:

2x − y − 6 = 0
2y' − x' − 6 = 0
x' − 2y' + 6 = 0

Jadi, bayangan garis tersebut adalah x − 2y + 6 = 0 (E).

Soal Transformasi Geometri UN 2015

Persamaan bayangan dari garis 3x + 2y + 5 = 0 oleh transformasi pencerminan terhadap garis y = −x dilanjutkan dengan rotasi 90° dengan pusat O(0, 0) berlawanan arah putar jarum jam adalah ….A.   3x + 2y − 5 = 0
B.   3x − 2y − 5 = 0
C.   3x − 2y + 5 = 0
D.   2x − 3y − 5 = 0
E.   2x − 3y + 5 = 0

Pembahasan

Misal T₁ adalah refleksi terhadap garis y = −x.

 

T₂ adalah rotasi 90°.

T adalah matriks komposisi transformasi T₁ dilanjutkan dengan T₂.

Berdasarkan matriks komposisi di atas, diperoleh:

x' = x   → x = x'
y' = −y → y = −y'

Dengan demikian, bayangan dari garis:

3x + 2y + 5 = 0
3x' + 2(−y') + 5 = 0
3x' − 2y' + 5 = 0

Jadi, bayangan garis tersebut adalah 3x − 2y + 5 = 0 (C).

Soal Transformasi Geometri UN 2010

Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks

kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah ….A.   x + y − 3 = 0
B.   x − y − 3 = 0
C.   x + y + 3 = 0
D.   3x + y + 1 = 0
E.   x + 3y + 1 = 0

Pembahasan

Misalkan:

T adalah matriks komposisi T₁ dilanjutkan T₂.

Karena matriks T bukan matriks diagonal (komponen diagonalnya tidak nol), lebih praktis dicari matriks inversnya.

Berdasarkan matriks komposisi invers tersebut diperoleh:

x = x' + 2y'
y = −y'

Dengan demikian, bayangan dari kurva y adalah:

   y = x + 1
−y' = x' + 2y' + 1
x' + 3y' + 1 = 0

Jadi, bayangan kurva y oleh transformasi tersebut adalah x + 3y + 1 = 0 (E).

Bagikan Artikel ini