Jumat, 25 Mei 2018

Pembahasan Matematika IPA UN: Transformasi Geometri


Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Transformasi Geometri yang meliputi komposisi transformasi pencerminan terhadap sumbu x, y = x, y = −x, atau rotasi 90° pada titik, garis, dan kurva.

Soal Transformasi Geometri UN 2013

Bayangan titik A(5, −2) karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi 90° dengan pusat O adalah ....A.   (−2, −5)
B.   (−2, 5)
C.   (2, 5)
D.   (5, 2)
E.   (5, 4)

Pembahasan

Misal T1 adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x.
Matriks pencerminan terhadap sumbu x

Ingat:   x = 1x + 0y
         −x = −1x + 0y
            y = 0x + 1y
          −y = 0x − 1y
T2 adalah rotasi 90° (jika tidak disebutkan berarti berlawanan arah putaran jarum jam, atau bernilai positif).
Matriks rotasi 90 derajat

T adalah matriks komposisi transformasi T1 dilanjutkan dengan T2.
Matriks komposisi transformasi T1 dilanjutkan dengan T2

Berdasarkan matriks komposisi di atas, diperoleh:
x' = y
y' = x
P(x, y) → P'(y, x)
Dengan demikian, bayangan titik A(5, −2) adalah (−2, 5).
Jadi, bayangan titik A(5, −2) karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi 90° dengan pusat O adalah (−2, 5) (B).

Soal Transformasi Geometri UN 2011

Persamaan bayangan garis y = 2x − 3 karena refleksi terhadap garis y = −x dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah ….A.   y + 2x − 3 = 0
B.   y − 2x − 3 = 0
C.   2y + x − 3 = 0
D.   2yx − 3 = 0
E.   2y + x + 3 = 0

Pembahasan

Misal T1 adalah refleksi terhadap garis y = −x.
Matriks refleksi terhadap garis y = −x

T2 adalah refleksi terhadap garis y = x.
Matriks refleksi terhadap garis y = x

T adalah matriks komposisi transformasi T1 dilanjutkan dengan T2.
Matriks komposisi pencerminan terhadap garis y=-x dilanjutkan y=x

Berdasarkan matriks komposisi tersebut diperoleh:
x' = −xx = −x'
y'= −yy = −y'
Dengan demikian, bayangan dari:
   y = 2x − 3
y' = 2(−x') − 3
y' = −2x' − 3
y' − 2x' − 3 = 0
Jadi, bayangan dari garis tersebut adalah y − 2x − 3 = 0 (B).

Soal Transformasi Geometri UN 2009

Bayangan garis 2xy − 6 = 0 jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi pusat O sejauh 90° adalah ….A.   2x + y − 6 = 0
B.   x + 2y − 6 = 0
C.   x − 2y − 6 = 0
D.   x + 2y + 6 = 0
E.   x − 2y + 6 = 0

Pembahasan

Misal T1 adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x.
Matriks pencerminan terhadap sumbu x
T1 adalah rotasi 90°.
Matriks rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam
T adalah matriks komposisi transformasi T1 dilanjutkan dengan T2.
Matriks komposisi pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi 90 derajat
Berdasarkan matriks komposisi di atas, diperoleh:
x' = yy = x'
y' = xx = y'
Dengan demikian, bayangan dari garis:
2x − y − 6 = 0
2y' − x' − 6 = 0
x' − 2y' + 6 = 0
Jadi, bayangan garis tersebut adalah x − 2y + 6 = 0 (E).

Soal Transformasi Geometri UN 2015

Persamaan bayangan dari garis 3x + 2y + 5 = 0 oleh transformasi pencerminan terhadap garis y = −x dilanjutkan dengan rotasi 90° dengan pusat O(0, 0) berlawanan arah putar jarum jam adalah ….A.   3x + 2y − 5 = 0
B.   3x − 2y − 5 = 0
C.   3x − 2y + 5 = 0
D.   2x − 3y − 5 = 0
E.   2x − 3y + 5 = 0

Pembahasan

Misal T1 adalah refleksi terhadap garis y = −x.
Matriks refleksi terhadap garis y = −x 
T2 adalah rotasi 90°.
Matriks rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam
T adalah matriks komposisi transformasi T1 dilanjutkan dengan T2.
Matriks komposisi pencerminan y = -x dilanjutkan rotasi 90 derajat

Berdasarkan matriks komposisi di atas, diperoleh:
x' = x   → x = x'
y' = −yy = −y'
Dengan demikian, bayangan dari garis:
3x + 2y + 5 = 0
3x' + 2(−y') + 5 = 0
3x' − 2y' + 5 = 0
Jadi, bayangan garis tersebut adalah 3x − 2y + 5 = 0 (C).

Soal Transformasi Geometri UN 2010

Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks
Matriks trnasformasi

kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah ….A.   x + y − 3 = 0
B.   xy − 3 = 0
C.   x + y + 3 = 0
D.   3x + y + 1 = 0
E.   x + 3y + 1 = 0

Pembahasan

Misalkan:

T adalah matriks komposisi T1 dilanjutkan T2.

Karena matriks T bukan matriks diagonal (komponen diagonalnya tidak nol), lebih praktis dicari matriks inversnya.

Berdasarkan matriks komposisi invers tersebut diperoleh:
x = x' + 2y'
y = −y'
Dengan demikian, bayangan dari kurva y adalah:
   y = x + 1
y' = x' + 2y' + 1
x' + 3y' + 1 = 0
Jadi, bayangan kurva y oleh transformasi tersebut adalah x + 3y + 1 = 0 (E).

loading...

Artikel Terkait