Jumat, 25 Mei 2018

Pembahasan Matematika IPA UN: Fungsi Kuadrat

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Fungsi Kuadrat yang meliputi:
  • persamaan grafik fungsi kuadrat, 
  • grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x, 
  • grafik fungsi kuadrat menyinggung garis, serta
  • grafik fungsi kuadrat definit positif.

Soal Fungsi Kuadrat UN 2008

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1, 2) dan melalui titik (2, 3) adalah ….
A.   y = x2 − 2x + 1
B.   y = x2 − 2x + 3
C.   y = x2 + 2x − 1
D.   y = x2 + 2x + 1
E.   y = x2 − 2x − 3

Pembahasan

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik minimum atau puncak (p, q) dirumuskan sebagai:
y = a(xp)2 + q
Puncak grafik fungsi kuadrat adalah (1, 2) sehingga diperoleh:
y = a(x − 1)2 + 2
Grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (2, 3). Titik ini bisa kita substitusikan untuk mendapatkan nilai a.
3 = a(2 − 1)2 + 2
3 = a + 2
a = 1
Dengan demikian, persamaan fungsinya adalah:
y = 1(x − 1)2 + 2
   = x2 − 2x + 1 + 2
   = x2 − 2x + 3
Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut adalah y = x2 − 2x + 3 (B).

Soal Fungsi Kuadrat UN 2011

Grafik y = px2 + (p + 2)xp + 4 memotong sumbu x di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah ….
A.   p < −2 atau p > −2/5
B.   p < 2/5 atau p > 2
C.   p < −2 atau p >1 0
D.   2/5 < p < 2
E.   2 < p < 10

Pembahasan

Koefisien fungsi y = px2 + (p + 2)xp + 4 adalah:
a = p
b = p + 2
c = −p + 4
Agar grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik, diskriminan fungsi kuadrat tersebut harus bernilai positif.
                                  D > 0
                        b2 − 4ac > 0
    (p + 2)2 − 4p(−p + 4) > 0
p2 + 4p + 4 + 4p2 − 16p > 0
                5p2 − 12p + 4 > 0
              (5p − 2)(p − 2) > 0
Diperoleh titik ekstrem:
p = 2/5 atau p = 2
Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka interval terletak di sebelah kiri 2/5 atau di sebelah kana 2.
p < 2/5 atau p > 2
Jadi, batas-batas nilai p yang memenuhi adalah opsi (B).

Soal Fungsi Kuadrat UN 2009

Jika grafik fungsi f(x) = x2 + px + 5 menyinggung garis 2x + y = 1 dan p > 0 maka nilai p yang memenuhi adalah ….A.   –6
B.   –4
C.   –2
D.   2
E.   4

Pembahasan

Misal:
Parabola :  y1 = x2 + px + 5
Garis      :  y2 = 1 − 2x
Jika parabola menyinggung garis maka di titik singgungnya parabola dan garis mempunyai nilai yang sama.
                       y1 = y1
         x2 + px + 5 = 1 − 2x
 x2 + px + 2x + 4 = 0
x2 + (p + 2)x + 4 = 0
Syarat kedua agar keduanya saling menyinggung adalah diskriminan persamaan di atas harus sama dengan nol.
                       D = 0
            b2 − 4ac = 0
 (p + 2)2 − 4∙1∙4 = 0
p2 + 4p + 4 − 16 = 0
      p2 + 4p − 12 = 0
    (p + 6)(p − 2) = 0
     p = −6 atau p = 2
Karena soal memberi syarat p > 0 maka nilai p yang memenuhi adalah 2.
Jadi, nilai p yang memenuhi agar parabola menyinggung garis tersebut adalah 2 (D).

Soal Fungsi Kuadrat UN 2010

Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx +4  menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah ….A.   −4
B.   −3
C.   0
D.   3
E.   4

Pembahasan

Karena bersinggungan, maka parabola dan garis mempunyai nilai yang sama di titik singgung.
                 y1 = y1
   x2 + bx + 4 = 3x + 4
 x2 + bx − 3x = 0
x2 + (b − 3)x = 0
Selain itu, dua fungsi yang bersinggungan akan mempunyai diskriminan sama dengan nol.
                      D = 0
           b2 − 4ac = 0
(b − 3)2 − 4∙1∙0 = 0
            (b − 3)2 = 0
                b − 3 = 0
                      b = 3
Jadi, nilai b yang memenuhi agar parabola dan garis tersebut bersinggungan adalah 3 (D).

Soal Fungsi Kuadrat UN 2013

Nilai a yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (a − 1)x2 + 2ax + a + 4 definit positif adalah ….A.   a < 4/3
B.   a < 1
C.   a > 1
D.   a > 4/3
E.   1 < a < 4/3

Pembahasan

Koefisien fungsi f(x) = (a − 1)x2 + 2ax + a + 4 adalah:
a = a − 1
b = 2a
c = a + 4
Definit positif berarti nilai f(x) selalu positif untuk semua harga x. Hal ini bisa terjadi jika grafik fungsi f(x) tidak memotong sumbu x dan terletak di atas sumbu x sehingga tidak mempunyai akar real (D < 0).
                                 D < 0
                       b2 − 4ac < 0
(2a)2 − 4(a − 1)(a + 4) < 0
    4a2 − 4(a2 + 3a − 4) < 0
   4a2 − 4a2 − 12a + 16 < 0
                     −12a + 16 < 0
                             −12a < −16
Masing-masing ruas dibagi −4 sehingga tanda pertidaksamaannya berubah.
                                   3a > 4
                                     a > 4/3
Jadi, nilai a agar fungsi kuadrat tersebut definit positif adalah a > 4/3 (D).

Artikel Terkait