Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Lingkaran yang meliputi:

• persamaan lingkaran, 
• persamaan garis singgung lingkaran.

Soal tentang Lingkaran UN 2013

Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, −3) dan berdiameter 8 cm adalah ….

A.   x² + y² − 8x + 6y = 0
B.   x² + y² + 8x − 6y + 16 = 0
C.   x² + y² − 8x + 6y + 16 = 0
D.   x² + y² + 8x − 6y + 9 = 0
E.   x² + y² − 8x + 6y + 9 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran dengan pusat (x₁, y₁) dan jari-jari r dirumuskan:

(x − x₁)² + (y − y₁)² = r²

Berdasarkan rumus di atas, persamaan lingkaran dengan pusat (4, −3) dan diameter 8 (jari-jari 4) adalah:

(x − 4)² + (y + 3)² = 4²
x² − 8x + 16 + y² + 6y + 9 = 16
x² + y² − 8x + 6y + 9 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, −3) dan berdiameter 8 cm adalah opsi (E).

Soal tentang Lingkaran UN 2015

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1, −3) dan menyinggung garis x + 2y + 10 = 0 adalah ….A.   x² + y² − 2x + 6y + 5 = 0
B.   x² + y² − 2x − 6y + 5 = 0
C.   x² + y² + 2x + 6y + 5 = 0
D.   x² + y² − 2x + 6y + 15 = 0
E.   x² + y² + 2x + 6y + 15 = 0

Pembahasan

Jarak antara titik pusat lingkaran (x₁, y₁) terhadap garis singgung ax + by + c = 0 merupakan jari-jari lingkaran tersebut yang dirumuskan:

Sehingga jari-jari yang berpusat di titik (1, −3) dan menyinggung garis x + 2y + 10 = 0 adalah:

Dengan demikian, persamaan lingkaran tersebut adalah:

(x − x₁)² + (y − y₁)² = r²
(x − 1)² + (y + 3)² = (√5)²
x² − 2x + 1 + y² + 6y + 9 = 5
x² + y² − 2x + 6y + 5 = 0

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah opsi (A).

Soal tentang Lingkaran UN 2011

Persamaan garis singgung lingkaran
x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah ….A.   3x − 4y − 41 = 0
B.   4x + 3y − 55 = 0
C.   4x − 5y − 53 = 0
D.   4x + 3y − 31 = 0
E.   4x − 3y − 40 = 0

Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran dalam bentuk x² + y² + Ax + By + C = 0 di titik (x₁, y₁) dirumuskan sebagai:

x₁ x + y₁ y + ½A(x₁ + x) + ½B(y₁ + y) + C = 0

Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah:

7x + 1y − 3(7 + x) + 2(1 + y) − 12 = 0
     7x + y − 21 − 3x + 2 + 2y − 12 = 0
                                  4x + 3y − 31 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah opsi (D).

Soal tentang Lingkaran UN 2014

Persamaan garis singgung pada lingkaran 2x² + 2y² + 4x − 8y − 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y − 15 = 0 adalah ….A.   5x + 12y − 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
B.   5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
C.   5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
D.   12x + 5y − 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
E.   12x + 5y − 20 = 0 dan 12x + 5y + 20 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran pada soal di atas dapat disederhanakan dengan cara membagi 2 pada setiap sukunya.

2x² + 2y² + 4x − 8y − 8 = 0
x² + y² + 2x − 4y − 4 = 0

Setelah itu, kita ubah bentuk umum tersebut menjadi bentuk baku dengan menggunakan kuadrat sempurna.

x² + y² + 2x − 4y = 4
(x + 1)² + (y − 2)² = 4 + 1² + (−2)²
(x + 1)² + (y − 2)² = 9

Bila dibandingkan dengan bentuk bakunya:

(x − x₁)² + (y − y₁)² = r²

Diperoleh:

x₁ = −1
y₁ = 2
r² = 9
r = 3

Sementara itu, persamaan garis singgung lingkaran tersebut sejajar dengan garis 5x + 12y − 15 = 0. Artinya, gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis tersebut.

Gradien garis 5x + 12y − 15 = 0 adalah:

m = −a/b
    = −5/12

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m dirumuskan:

Kalikan semua suku dengan 12.

12y − 24 = −5(x + 1) ± 3∙13
12y − 24 = −5x −5 ± 39

Kita ambil nilai plus dan minus untuk persamaan di atas:

I.   12y − 24 = −5x −5 + 39
      5x + 12y − 58 = 0

II.  12y − 24 = −5x −5 − 39
      5x + 12y + 20 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah opsi (B).

Soal tentang Lingkaran UN 2012

Lingkaran L ∶ (x + 1)² + (y − 3)² = 9
memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ….A.   x = 2 dan x = −4
B.   x = 2 dan x = −2
C.   x = −2 dan x = 4
D.   x = −2 dan x = −4
E.   x = 8 dan x = −10

Pembahasan

Titik potong antara lingkaran dan garis dapat dicari dengan cara substitusi y = 3 pada lingkaran L.

(x + 1)² + (y − 3)² = 9
(x + 1)² + (3 − 3)² = 9
                 (x + 1)² = 9
                     x + 1 = ±3
                           x = ±3 − 1
                          x₁ = 2
                          x₂ = −4

Sehingga titik potong lingkaran dan garis tersebut adalah:

(2, 3) dan (−4, 3)

Titik potong tersebut juga merupakan titik singgung lingkaran.

Persamaan garis singgung lingkaran (x + 1)² + (y − 3)² = 9 melalui (x₁, y₁) dirumuskan:

(x₁ + 1)(x + 1) + (y₁ − 3)(y − 3) = 9

Substitusi (2, 3) sebagai (x₁, y₁) diperoleh:

(2 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(y − 3) = 9
                                  3(x + 1) = 9
                                       x + 1 = 3
                                             x = 2

Substitusi (−4, 3) sebagai (x₁, y₁) diperoleh:

(−4 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(y − 3) = 9
                                   −3(x + 1) = 9
                                          x + 1 = −3
                                                x = −4

Jadi, garis singgung lingkaran tersebut adalah x = 2 dan x = −4 (A).

Bagikan Artikel ini