Pembahasan Matematika Dasar No. 46 - 50 TKPA SBMPTN 2016 Kode Naskah 321

Pembahasan soal Matematika Dasar Tes Kemampuan Potensi Akademik (TKPA) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2016 kode naskah 321 nomor 46 sampai dengan nomor 50 tentang:

• persamaan kuadrat, 
• eksponen, 
• persamaan garis lurus, 
• pertidaksamaan, dan 
• transformasi geometri.

Soal No. 46 tentang Persamaan Kuadrat

Misalkan m dan n adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan x² + ax − 30 = 0 maka nilai a agar m + n maksimum adalah ….

A.   30
B.   29
C.   13
D.   −29
E.   −31

Pembahasan

Persamaan kuadrat x² + ax − 30 = 0 mempunyai akar m dan n. Perkalian kedua akarnya adalah:

mn = c/a
mn = −30 … (1)

Sedangkan penjumlahan kedua akarnya adalah:

m + n = −b/a
m + n = −a … (2)

Sekarang perhatikan persamaan (1). Perkalian m dan n yang menghasilkan −30 adalah:

−30		m + n
m	n
−1	30	29
1	−30	−29
−2	15	13
⋮	⋮	⋮

Berdasarkan tabel di atas, tampak bahwa nilai maksimum untuk m + n adalah 29.

Kita gunakan persamaan (2) untuk mendapatkan nilai a.

m + n = −a
     29 = −a
       a = −29

Jadi, nilai a agar m + n maksimum adalah −29 (D).

Soal No. 47 tentang Eksponen

Jika A^2x = 2 maka

A.   31/18
B.   31/9
C.   32/18
D.   33/9
E.   33/18

Pembahasan

Diketahui.

A^2x = 2

Kunci penyelesaian soal di atas adalah menghilangkan pangkat negatif terkecil, yaitu A^−5x. Caranya adalah dengan mengalikan A^5x.

Selanjutnya, kita substitusikan A^2x = 2 pada hasil di atas.

Jadi, nilai dari bentuk pangkat tersebut adalah 31/18 (A).

Soal No. 48 tentang Persamaan Garis Lurus

Suatu garis yang melalui titik (0, 0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1, 0), (5, 0), (1, 12), dan (5, 12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah ….A.   1/2
B.   1
C.   2
D.   12/5
E.   3

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Gradien garis OP adalah:

Sedangkan gradien garis OQ adalah:

Karena OP segaris dengan OQ maka gradien kedua garis tersebut adalah sama.

m_P = m_Q
  m = (12 − m)/5
5m = 12 − m
6m = 12
  m = 2

Jadi, gradien garis yang membagi persegi panjang tersebut adalah 2 (C).

Soal No. 49 tentang Pertidaksamaan

Semua bilangan real x yang memenuhi

adalah ….A.   −2 ≤ x ≤ 2
B.   x ≤ −2 atau 0 ≤ x < 1
C.   −2 ≤ x < −1/2 atau 0 < x ≤ 2
D.   −2 ≤ x < −1/2 atau x ≥ 2
E.   x ≤ −2 atau x ≥ 2

Pembahasan

Pertidaksamaan bentuk pecahan yang menggunakan tanda pertidaksamaan ‘≤’ atau ‘≥’ harus memperhatikan syarat pecahan, yaitu penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol.

I.    x ≠ 0

II.  2x + 1 ≠ 0
              x ≠ −1/2

Berdasarkan kedua syarat penyebut di atas, sudah pasti opsi A dan B salah. Hal ini karena x = 0 dan x = −1/2 masuk dalam interval kedua opsi tersebut.

Mari kita kerjakan pertidaksamaan di atas. Langkah pertama adalah memindahkan semua suku ke ruas kiri sehingga ruas kanan menjadi nol.

Selanjutnya kita samakan semua penyebutnya.

Sekarang tinggal kita faktorkan dengan menggunakan rumus a² − b² = (a + b)(a − b).

Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah:

x = −2
x = 2
x = 0
x = −1/2

Berdasarkan pembuat nol tersebut dapat dibuat garis bilangan sebagai berikut:

Diperoleh:

−2 ≤ x ≤ −1/2 atau 0 ≤ x ≤ 2

Karena pertidaksamaan tersebut mempunyai syarat x ≠ 0 dan x ≠ −1/2 maka tanda pertidaksamaan ‘≤’ yang berhubungan dengan 0 dan 1/2 harus diubah menjadi ‘<’.

Sehingga hasil akhirnya adalah:

−2 ≤ x < −1/2 atau 0 < x ≤ 2

Jadi, semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah opsi (C).

Soal No. 50 tentang Transformasi Geometri

Jika grafik fungsi y = x² − (9 + a)x + 9a diperoleh dari grafik fungsi y = x² − 2x − 3 melalui pencerminan terhadap garis x = 4 maka a = ….

A.   7
B.   5
C.   3
D.   −5
E.   −7

Pembahasan

Pencerminan terhadap garis x = h dirumuskan:

P(x, y) → P'(2h − x, y)

Sehingga pencerminan terhadap x = 4 adalah:

P(x, y) → P' (8 − x, y)

Berdasarkan pencerminan tersebut diperoleh:

x' = 8 − x  atau   x = 8 − x' … (1)
y' = y         atau   y = y'         … (2)

Substitusi persamaan (1) dan (2) ke fungsi asal diperoleh:

y = x² − 2x − 3
y' = (8 − x')² − 2(8 − x') − 3
   = 64 − 16x' + (x')² − 16 + 2x' − 3
   = (x')² − 14x' + 45

Dengan demikian, bayangan dari fungsi tersebut adalah:

y = x² − 14x + 45

Nah, sekarang bandingkan bayangan fungsi tersebut dengan fungsi yang disajikan pada soal.

y = x² − 14x + 45
y = x² − (9 + a)x + 9a

Diperoleh:

9 + a = 14
      a = 5

atau

9a = 45
  a = 5

Jadi, nilai a pada grafik fungsi hasil pencerminan tersebut adalah 5 (B).

Bagikan Artikel ini